Theorem bezoutlemaz 11680

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 11679 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 11679	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3	2	adantll 467	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
4		bezoutlemzz 11679	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
5	4	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
6	5	adantll 467	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
7		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdsnegb 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
11	7, 9, 10	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
12	11	biimprd 157	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ -𝐴 → 𝑧 ∥ 𝐴))
13	12	anim1d 334	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
15	14	ralimdva 2497	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
16	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℂ)
20		mulneg12 8152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
21	17, 19, 20	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
22	21	oveq1d 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
23	22	eqeq2d 2149	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
24	23	rexbidv 2436	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
25		znegcl 9078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → -𝑡 ∈ ℤ)
26		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · -𝑡))
27	26	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
28	27	eqeq2d 2149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
29	28	rexbidv 2436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
30	29	rspcev 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
31	25, 30	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
32	31	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
33	32	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
34	24, 33	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
35	34	rexlimdva 2547	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
36	15, 35	anim12d 333	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
37	36	reximdva 2532	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
38	6, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
39		elznn0 9062	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
40	39	simprbi 273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
41	40	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
42	3, 38, 41	mpjaodan 787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612   + caddc 7616   · cmul 7618  -cneg 7927  ℕ₀cn0 8970  ℤcz 9047   ∥ cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  11681