Theorem bezoutlemaz 12409

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 12408 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 12408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3	2	adantll 476	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
4		bezoutlemzz 12408	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
5	4	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
6	5	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
7		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdsnegb 12204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ -𝐴 → 𝑧 ∥ 𝐴))
13	12	anim1d 336	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
15	14	ralimdva 2574	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
16	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℂ)
20		mulneg12 8499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
22	21	oveq1d 5977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
23	22	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
24	23	rexbidv 2508	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
25		znegcl 9433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → -𝑡 ∈ ℤ)
26		oveq2 5970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · -𝑡))
27	26	oveq1d 5977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
28	27	eqeq2d 2218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
29	28	rexbidv 2508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
30	29	rspcev 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
31	25, 30	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
32	31	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
34	24, 33	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
35	34	rexlimdva 2624	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
36	15, 35	anim12d 335	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
37	36	reximdva 2609	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
38	6, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
39		elznn0 9417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
40	39	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
41	40	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
42	3, 38, 41	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  ℂcc 7953  ℝcr 7954   + caddc 7958   · cmul 7960  -cneg 8274  ℕ₀cn0 9325  ℤcz 9402   ∥ cdvds 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fz 10161  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-dvds 12184

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  12410