Theorem bezoutlemaz 12004

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemzz 12003 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemaz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemaz

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemzz 12003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3	2	adantll 476	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
4		bezoutlemzz 12003	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
5	4	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
6	5	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
7		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		dvdsnegb 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑧 ∥ -𝐴))
12	11	biimprd 158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ -𝐴 → 𝑧 ∥ 𝐴))
13	12	anim1d 336	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
14	13	imim2d 54	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
15	14	ralimdva 2544	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
16	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → 𝑡 ∈ ℂ)
20		mulneg12 8354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (-𝐴 · 𝑡) = (𝐴 · -𝑡))
22	21	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
23	22	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
24	23	rexbidv 2478	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
25		znegcl 9284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → -𝑡 ∈ ℤ)
26		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · -𝑡))
27	26	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)))
28	27	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
29	28	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑡 → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))))
30	29	rspcev 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
31	25, 30	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
32	31	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℤ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
33	32	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · -𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
34	24, 33	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
35	34	rexlimdva 2594	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
36	15, 35	anim12d 335	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
37	36	reximdva 2579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ -𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((-𝐴 · 𝑡) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
38	6, 37	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
39		elznn0 9268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
40	39	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
41	40	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
42	3, 38, 41	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810   + caddc 7814   · cmul 7816  -cneg 8129  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253   ∥ cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795

This theorem is referenced by:  bezoutlembz  12005