Theorem bezoutlembz 12781

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12780 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12780	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	adantlr 481	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3		bezoutlemaz 12780	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
4	3	adantlr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
6		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> B e. ZZ )
7	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> B e. ZZ )
8		dvdsnegb 12575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u B -> z || B ) )
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || A /\ z || -u B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13	12	ralimdva 2617	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
14	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. ZZ )
15	14	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
17	16	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
18		mulneg12 8724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
20	19	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
21	20	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
22		znegcl 9675	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
23		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u t -> ( B x. y ) = ( B x. -u t ) )
24	23	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
25	24	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
26	25	rspcev 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ZZ -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
31	30	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
32	31	reximdv 2651	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
34	33	reximdva 2652	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
35	4, 34	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36		elznn0 9659	. . . 4 |- ( B e. ZZ <-> ( B e. RR /\ ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) ) )
37	36	simprbi 275	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
38	37	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
39	2, 35, 38	mpjaodan 810	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   + caddc 8182   x. cmul 8184   -ucneg 8498   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555

This theorem is used by:  bezoutlembi  12782