Theorem bezoutlembz 12024

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12023 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12023	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3		bezoutlemaz 12023	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
4	3	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> B e. ZZ )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> B e. ZZ )
8		dvdsnegb 11834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u B -> z || B ) )
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || A /\ z || -u B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13	12	ralimdva 2557	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
14	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. ZZ )
15	14	zcnd 9395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
17	16	zcnd 9395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
18		mulneg12 8373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
20	19	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
21	20	eqeq2d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
22		znegcl 9303	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
23		oveq2 5899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u t -> ( B x. y ) = ( B x. -u t ) )
24	23	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
25	24	eqeq2d 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
26	25	rspcev 2856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ZZ -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
31	30	rexlimdva 2607	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
32	31	reximdv 2591	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
34	33	reximdva 2592	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
35	4, 34	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36		elznn0 9287	. . . 4 |- ( B e. ZZ <-> ( B e. RR /\ ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) ) )
37	36	simprbi 275	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
38	37	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
39	2, 35, 38	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7828   RRcr 7829   + caddc 7833   x. cmul 7835   -ucneg 8148   NN0cn0 9195   ZZcz 9272   || cdvds 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-dvds 11814

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  12025