Theorem bezoutlembz 11728

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 11727 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 11727	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	adantlr 469	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3		bezoutlemaz 11727	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
4	3	adantlr 469	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
5		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
6		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> B e. ZZ )
7	6	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> B e. ZZ )
8		dvdsnegb 11546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
10	9	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u B -> z || B ) )
11	10	anim2d 335	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || A /\ z || -u B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13	12	ralimdva 2502	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
14	6	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. ZZ )
15	14	zcnd 9198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. CC )
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
17	16	zcnd 9198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
18		mulneg12 8183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
20	19	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
21	20	eqeq2d 2152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
22		znegcl 9109	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
23		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u t -> ( B x. y ) = ( B x. -u t ) )
24	23	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
25	24	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
26	25	rspcev 2793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
27	22, 26	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
28	27	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ZZ -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
30	21, 29	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
31	30	rexlimdva 2552	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
32	31	reximdv 2536	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	13, 32	anim12d 333	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
34	33	reximdva 2537	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
35	4, 34	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36		elznn0 9093	. . . 4 |- ( B e. ZZ <-> ( B e. RR /\ ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) ) )
37	36	simprbi 273	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
38	37	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
39	2, 35, 38	mpjaodan 788	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   + caddc 7647   x. cmul 7649   -ucneg 7958   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  11729