Theorem bezoutlembz 12440

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12439 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12439	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3		bezoutlemaz 12439	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
4	3	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> B e. ZZ )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> B e. ZZ )
8		dvdsnegb 12234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u B -> z || B ) )
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || A /\ z || -u B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13	12	ralimdva 2575	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
14	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. ZZ )
15	14	zcnd 9531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
17	16	zcnd 9531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
18		mulneg12 8504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
20	19	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
21	20	eqeq2d 2219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
22		znegcl 9438	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
23		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u t -> ( B x. y ) = ( B x. -u t ) )
24	23	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
25	24	eqeq2d 2219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
26	25	rspcev 2884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ZZ -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
31	30	rexlimdva 2625	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
32	31	reximdv 2609	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
34	33	reximdva 2610	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
35	4, 34	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36		elznn0 9422	. . . 4 |- ( B e. ZZ <-> ( B e. RR /\ ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) ) )
37	36	simprbi 275	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
38	37	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
39	2, 35, 38	mpjaodan 800	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   + caddc 7963   x. cmul 7965   -ucneg 8279   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  12441