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Theorem bezoutlembz 11271
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 11270 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y    B, d, x, y   
z, A, d    z, B

Proof of Theorem bezoutlembz
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemaz 11270 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
21adantlr 461 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3 bezoutlemaz 11270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) ) )
43adantlr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) ) )
5 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
6 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  B  e.  ZZ )
76ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
8 dvdsnegb 11091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( z  ||  B  <->  z 
||  -u B ) )
95, 7, 8syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  B  <->  z  ||  -u B ) )
109biimprd 156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  -u B  -> 
z  ||  B )
)
1110anim2d 330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
)  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
1211imim2d 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  ->  (
z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
1312ralimdva 2441 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
146ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
1514zcnd 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
16 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  ZZ )
1716zcnd 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  CC )
18 mulneg12 7875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  t )  =  ( B  x.  -u t
) )
1915, 17, 18syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( -u B  x.  t )  =  ( B  x.  -u t ) )
2019oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
)  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )
2120eqeq2d 2099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) ) )
22 znegcl 8781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ZZ  ->  -u t  e.  ZZ )
23 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  -u t ) )
2423oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u t  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) )
2524eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u t  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) ) )
2625rspcev 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u t  e.  ZZ  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
2722, 26sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
2827ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ZZ  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2928adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3021, 29sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3130rexlimdva 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3231reximdv 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3313, 32anim12d 328 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3433reximdva 2475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
354, 34mpd 13 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
36 elznn0 8765 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  <->  ( B  e.  RR  /\  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) ) )
3736simprbi 269 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) )
3837adantl 271 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) )
392, 35, 38mpjaodan 747 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349    + caddc 7353    x. cmul 7355   -ucneg 7654   NN0cn0 8673   ZZcz 8750    || cdvds 11074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fl 9677  df-mod 9730  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-dvds 11075
This theorem is referenced by:  bezoutlembi  11272
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