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Theorem bezoutlembz 11903
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 11902 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y    B, d, x, y   
z, A, d    z, B

Proof of Theorem bezoutlembz
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemaz 11902 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
21adantlr 469 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3 bezoutlemaz 11902 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) ) )
43adantlr 469 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) ) )
5 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
6 simplr 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  B  e.  ZZ )
76ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
8 dvdsnegb 11715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( z  ||  B  <->  z 
||  -u B ) )
95, 7, 8syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  B  <->  z  ||  -u B ) )
109biimprd 157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  -u B  -> 
z  ||  B )
)
1110anim2d 335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
)  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
1211imim2d 54 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  ->  (
z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
1312ralimdva 2524 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
146ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
1514zcnd 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  ZZ )
1716zcnd 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  t  e.  CC )
18 mulneg12 8276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( -u B  x.  t )  =  ( B  x.  -u t
) )
1915, 17, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( -u B  x.  t )  =  ( B  x.  -u t ) )
2019oveq2d 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
)  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )
2120eqeq2d 2169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) ) )
22 znegcl 9203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ZZ  ->  -u t  e.  ZZ )
23 oveq2 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  -u t ) )
2423oveq2d 5842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u t  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) )
2524eqeq2d 2169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u t  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t
) ) ) )
2625rspcev 2816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u t  e.  ZZ  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
2722, 26sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
2827ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ZZ  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2928adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  -u t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3021, 29sylbid 149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3130rexlimdva 2574 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3231reximdv 2558 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( -u B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )
3313, 32anim12d 333 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3433reximdva 2559 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  -u B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( -u B  x.  t )
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
354, 34mpd 13 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -u B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
36 elznn0 9187 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  <->  ( B  e.  RR  /\  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) ) )
3736simprbi 273 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) )
3837adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  NN0  \/  -u B  e.  NN0 ) )
392, 35, 38mpjaodan 788 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   CCcc 7732   RRcr 7733    + caddc 7737    x. cmul 7739   -ucneg 8051   NN0cn0 9095   ZZcz 9172    || cdvds 11694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fz 9919  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-dvds 11695
This theorem is referenced by:  bezoutlembi  11904
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