Theorem bezoutlembz 12525

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemaz 12524 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembz	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlembz

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemaz 12524	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
3		bezoutlemaz 12524	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
4	3	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> B e. ZZ )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> B e. ZZ )
8		dvdsnegb 12319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || B <-> z || -u B ) )
10	9	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || -u B -> z || B ) )
11	10	anim2d 337	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || A /\ z || -u B ) -> ( z || A /\ z || B ) ) )
12	11	imim2d 54	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13	12	ralimdva 2597	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
14	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. ZZ )
15	14	zcnd 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> B e. CC )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. ZZ )
17	16	zcnd 9570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> t e. CC )
18		mulneg12 8543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ t e. CC ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( -u B x. t ) = ( B x. -u t ) )
20	19	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
21	20	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
22		znegcl 9477	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ZZ -> -u t e. ZZ )
23		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u t -> ( B x. y ) = ( B x. -u t ) )
24	23	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) )
25	24	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = -u t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) )
26	25	rspcev 2907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
27	22, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ZZ /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ZZ -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. -u t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
30	21, 29	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ t e. ZZ ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
31	30	rexlimdva 2648	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
32	31	reximdv 2631	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
33	13, 32	anim12d 335	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
34	33	reximdva 2632	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || -u B ) ) /\ E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( -u B x. t ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
35	4, 34	mpd 13	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -u B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
36		elznn0 9461	. . . 4 |- ( B e. ZZ <-> ( B e. RR /\ ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) ) )
37	36	simprbi 275	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
38	37	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B e. NN0 \/ -u B e. NN0 ) )
39	2, 35, 38	mpjaodan 803	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   + caddc 8002   x. cmul 8004   -ucneg 8318   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  bezoutlembi  12526