Theorem cnlimcim 15398

Description: If 𝐹 is a continuous function, the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnlimcim	⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem cnlimcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3247	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴)
4	2	cntoptopon 15259	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
5	4	toponrestid 14748	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
6	2, 3, 5	cncfcncntop 15320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
7	1, 6	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴–cn→ℂ) = (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
8	7	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − )))))
9		resttopon 14898	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
10	4, 9	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
11		cncnp 14957	. . . 4 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) Cn (MetOpen‘(abs ∘ − ))) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
13	8, 12	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥))))
14	2, 3	cnplimcim 15394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
17	16	ralimdva 2599	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
18	17	anim2d 337	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝐴) CnP (MetOpen‘(abs ∘ − )))‘𝑥)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
19	13, 18	sylbid 150	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030   − cmin 8350  abscabs 11559   ↾_t crest 13324  MetOpencmopn 14558  TopOnctopon 14737   Cn ccn 14912   CnP ccnp 14913  –cn→ccncf 15297   lim_ℂ climc 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-cncf 15298  df-limced 15383

This theorem is referenced by:  cnlimci  15400