ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnlimcim GIF version

Theorem cnlimcim 14537
Description: If 𝐹 is a continuous function, the limit of the function at each point equals the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnlimcim (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹

Proof of Theorem cnlimcim
StepHypRef Expression
1 ssid 3190 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
2 eqid 2189 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
3 eqid 2189 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴)
42cntoptopon 14429 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
54toponrestid 13918 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt β„‚)
62, 3, 5cncfcncntop 14477 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))))
71, 6mpan2 425 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐴–cnβ†’β„‚) = (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))))
87eleq2d 2259 . . 3 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))))
9 resttopon 14068 . . . . 5 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
104, 9mpan 424 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
11 cncnp 14127 . . . 4 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))))
1210, 4, 11sylancl 413 . . 3 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) Cn (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))))
138, 12bitrd 188 . 2 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯))))
142, 3cnplimcim 14533 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯))))
15 simpr 110 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯))
1614, 15syl6 33 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯)))
1716ralimdva 2557 . . 3 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯)))
1817anim2d 337 . 2 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝐴) CnP (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜π‘₯)) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯))))
1913, 18sylbid 150 1 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐹 limβ„‚ π‘₯))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468   βŠ† wss 3144   ∘ ccom 4645  βŸΆwf 5227  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„‚cc 7827   βˆ’ cmin 8146  abscabs 11024   β†Ύt crest 12710  MetOpencmopn 13815  TopOnctopon 13907   Cn ccn 14082   CnP ccnp 14083  β€“cnβ†’ccncf 14454   limβ„‚ climc 14520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-pm 6669  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-xneg 9790  df-xadd 9791  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-rest 12712  df-topgen 12731  df-psmet 13817  df-xmet 13818  df-met 13819  df-bl 13820  df-mopn 13821  df-top 13895  df-topon 13908  df-bases 13940  df-cn 14085  df-cnp 14086  df-cncf 14455  df-limced 14522
This theorem is referenced by:  cnlimci  14539
  Copyright terms: Public domain W3C validator