Theorem cosneg 11909

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7991	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulneg12 8440	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
4	3	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
5	4	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
6		mul2neg 8441	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
7	1, 6	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
8	7	fveq2d 5565	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
9	5, 8	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
10		negicn 8244	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
11		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13		efcl 11846	. . . . . 6 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
16	1, 15	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17		efcl 11846	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	14, 18	addcomd 8194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
20	9, 19	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
21	20	oveq1d 5940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
22		negcl 8243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
23		cosval 11885	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
25		cosval 11885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
26	21, 24, 25	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ici 7898   + caddc 7899   · cmul 7901  -cneg 8215   / cdiv 8716  2c2 9058  expce 11824  cosccos 11827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-cos 11833

This theorem is referenced by:  tannegap  11910  efmival  11915  sinsub  11922  cossub  11923  sincossq  11930  cosneghalfpi  15118  cos2pim  15134  ptolemy  15144  coseq0negpitopi  15156  cosq34lt1  15170