Theorem cosneg 12253

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8105	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulneg12 8554	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
4	3	eqcomd 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
5	4	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
6		mul2neg 8555	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
7	1, 6	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
8	7	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
9	5, 8	oveq12d 6025	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
10		negicn 8358	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
11		mulcl 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13		efcl 12190	. . . . . 6 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15		mulcl 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
16	1, 15	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17		efcl 12190	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	14, 18	addcomd 8308	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
20	9, 19	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
21	20	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
22		negcl 8357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
23		cosval 12229	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
24	22, 23	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
25		cosval 12229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
26	21, 24, 25	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  ici 8012   + caddc 8013   · cmul 8015  -cneg 8329   / cdiv 8830  2c2 9172  expce 12168  cosccos 12171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-cos 12177

This theorem is referenced by:  tannegap  12254  efmival  12259  sinsub  12266  cossub  12267  sincossq  12274  cosneghalfpi  15487  cos2pim  15503  ptolemy  15513  coseq0negpitopi  15525  cosq34lt1  15539