ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosneg GIF version

Theorem cosneg 11423
Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
cosneg (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7708 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
2 mulneg12 8152 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
31, 2mpan 420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
43eqcomd 2143 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
54fveq2d 5418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
6 mul2neg 8153 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
71, 6mpan 420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
87fveq2d 5418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
95, 8oveq12d 5785 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
10 negicn 7956 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
11 mulcl 7740 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
1210, 11mpan 420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
13 efcl 11359 . . . . . 6 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
15 mulcl 7740 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
161, 15mpan 420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17 efcl 11359 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1914, 18addcomd 7906 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
209, 19eqtrd 2170 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
2120oveq1d 5782 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
22 negcl 7955 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
23 cosval 11399 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
2422, 23syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
25 cosval 11399 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
2621, 24, 253eqtr4d 2180 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618  -cneg 7927   / cdiv 8425  2c2 8764  expce 11337  cosccos 11340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-cos 11346
This theorem is referenced by:  tannegap  11424  efmival  11429  sinsub  11436  cossub  11437  sincossq  11444  cosneghalfpi  12868  cos2pim  12884  ptolemy  12894  coseq0negpitopi  12906  cosq34lt1  12920
  Copyright terms: Public domain W3C validator