ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrsrg GIF version

Theorem distrsrg 7772
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
distrsrg ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ)))

Proof of Theorem distrsrg
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7740 . 2 R = ((P ร— P) / ~R )
2 addsrpr 7758 . 2 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R +R [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~R ) = [โŸจ(๐‘ง +P ๐‘ฃ), (๐‘ค +P ๐‘ข)โŸฉ] ~R )
3 mulsrpr 7759 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง ((๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ(๐‘ง +P ๐‘ฃ), (๐‘ค +P ๐‘ข)โŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))), ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)))โŸฉ] ~R )
4 mulsrpr 7759 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R )
5 mulsrpr 7759 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))โŸฉ] ~R )
6 addsrpr 7758 . 2 (((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P) โˆง (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R +R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))โŸฉ] ~R ) = [โŸจ(((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))), (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))โŸฉ] ~R )
7 addclpr 7550 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P)
87ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P)
9 addclpr 7550 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P)
109ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P)
118, 10jca 306 . 2 (((๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ง +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) โˆˆ P))
12 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
1312ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
14 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
1514ad2ant2l 508 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
16 addclpr 7550 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
1713, 15, 16syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
18 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
1918ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
20 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
2120ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
22 addclpr 7550 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
2319, 21, 22syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
2417, 23jca 306 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P))
25 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
2625ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
27 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
2827ad2ant2l 508 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
29 addclpr 7550 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
3026, 28, 29syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
31 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
3231ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
33 mulclpr 7585 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
3433ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
35 addclpr 7550 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3632, 34, 35syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P)
3730, 36jca 306 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)) โˆˆ P))
38 simp1l 1022 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ P)
39 simp2l 1024 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
40 simp3l 1026 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ P)
41 distrprg 7601 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)))
43 simp1r 1023 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
44 simp2r 1025 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
45 simp3r 1027 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ P)
46 distrprg 7601 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
4842, 47oveq12d 5906 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))))
4938, 39, 12syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
5038, 40, 25syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
5143, 44, 14syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
52 addcomprg 7591 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
5352adantl 277 . . . 4 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
54 addassprg 7592 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
5554adantl 277 . . . 4 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
5643, 45, 27syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
57 addclpr 7550 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
5857adantl 277 . . . 4 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
5949, 50, 51, 53, 55, 56, 58caov4d 6073 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))))
6048, 59eqtrd 2220 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ฃ) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข))))
61 distrprg 7601 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)))
6238, 44, 45, 61syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)))
63 distrprg 7601 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ฃ โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))
6443, 39, 40, 63syl3anc 1248 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ)))
6562, 64oveq12d 5906 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))))
6638, 44, 18syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
6738, 45, 31syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
6843, 39, 20syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
6943, 40, 33syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ) โˆˆ P)
7066, 67, 68, 53, 55, 69, 58caov4d 6073 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))))
7165, 70eqtrd 2220 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P (๐‘ฆ ยทP (๐‘ง +P ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ฃ))))
721, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71ecovidi 6661 1 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR (๐ต +R ๐ถ)) = ((๐ด ยทR ๐ต) +R (๐ด ยทR ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  (class class class)co 5888  Pcnp 7304   +P cpp 7306   ยทP cmp 7307   ~R cer 7309  Rcnr 7310   +R cplr 7314   ยทR cmr 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-iplp 7481  df-imp 7482  df-enr 7739  df-nr 7740  df-plr 7741  df-mr 7742
This theorem is referenced by:  pn0sr  7784  axmulass  7886  axdistr  7887
  Copyright terms: Public domain W3C validator