Theorem divcncfap 15698

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncfap.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 15661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4	3	fvmptelcdm 5855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
6		cncff 15661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
8	7	fvmptelcdm 5855	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
9		breq1 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 # 0 ↔ 𝐵 # 0))
10	9	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 # 0)
14	4, 12, 13	divrecapd 9117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	mpteq2dva 4219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
16	8	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
17		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)))
19	16, 17, 18	fmptcos 5870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)))
20		csbov2g 6121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
22		csbvarg 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
24	23	oveq2d 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧) = (1 / 𝐵))
25	21, 24	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / 𝐵))
26	25	mpteq2dva 4219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
27	19, 26	eqtr2d 2272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)))
28		ax-1cn 8266	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧))
30	29	cdivcncfap 15688	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
32	5, 31	cncfco 15675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	27, 32	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34	1, 33	mulcncf 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
35	15, 34	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ⦋csb 3147   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190   ∘ ccom 4776  ⟶wf 5371  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   # cap 8903   / cdiv 8996  –cn→ccncf 15654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-cncf 15655

This theorem is referenced by:  maxcncf  15699  mincncf  15700