Theorem divcncfap 14850

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncfap.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 14813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4	3	fvmptelcdm 5715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
6		cncff 14813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
8	7	fvmptelcdm 5715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
9		breq1 4036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 # 0 ↔ 𝐵 # 0))
10	9	elrab 2920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 # 0)
14	4, 12, 13	divrecapd 8820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	mpteq2dva 4123	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
16	8	ralrimiva 2570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
17		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)))
19	16, 17, 18	fmptcos 5730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)))
20		csbov2g 5963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
22		csbvarg 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
24	23	oveq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧) = (1 / 𝐵))
25	21, 24	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / 𝐵))
26	25	mpteq2dva 4123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
27	19, 26	eqtr2d 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)))
28		ax-1cn 7972	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧))
30	29	cdivcncfap 14840	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
32	5, 31	cncfco 14827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	27, 32	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34	1, 33	mulcncf 14844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
35	15, 34	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  ⦋csb 3084   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699  –cn→ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  maxcncf  14851  mincncf  14852