Theorem divcncfap 15852

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncfap.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 15815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4	3	fvmptelcdm 5864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
6		cncff 15815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
8	7	fvmptelcdm 5864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
9		breq1 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 # 0 ↔ 𝐵 # 0))
10	9	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 # 0)
14	4, 12, 13	divrecapd 9132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	mpteq2dva 4223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
16	8	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
17		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)))
19	16, 17, 18	fmptcos 5879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)))
20		csbov2g 6130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
22		csbvarg 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
24	23	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧) = (1 / 𝐵))
25	21, 24	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / 𝐵))
26	25	mpteq2dva 4223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
27	19, 26	eqtr2d 2272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)))
28		ax-1cn 8279	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧))
30	29	cdivcncfap 15842	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
32	5, 31	cncfco 15829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	27, 32	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34	1, 33	mulcncf 15846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
35	15, 34	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ⦋csb 3147   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   · cmul 8191   # cap 8918   / cdiv 9011  –cn→ccncf 15808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-cncf 15809

This theorem is used by:  maxcncf  15853  mincncf  15854