Theorem divcncfap 15341

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncf.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncfap.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))

Assertion

Ref	Expression
divcncfap	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem divcncfap

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncff 15304	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
4	3	fvmptelcdm 5800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		divcncfap.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}))
6		cncff 15304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶{𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
8	7	fvmptelcdm 5800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
9		breq1 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 # 0 ↔ 𝐵 # 0))
10	9	elrab 2962	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
11	8, 10	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 # 0)
14	4, 12, 13	divrecapd 8973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	mpteq2dva 4179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))))
16	8	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0})
17		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)))
19	16, 17, 18	fmptcos 5815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)))
20		csbov2g 6060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
21	12, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧))
22		csbvarg 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
23	12, 22	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧 = 𝐵)
24	23	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 / ⦋𝐵 / 𝑧⦌𝑧) = (1 / 𝐵))
25	21, 24	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧) = (1 / 𝐵))
26	25	mpteq2dva 4179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝐵 / 𝑧⦌(1 / 𝑧)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)))
27	19, 26	eqtr2d 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) = ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)))
28		ax-1cn 8125	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧))
30	29	cdivcncfap 15331	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
31	28, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ({𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0}–cn→ℂ))
32	5, 31	cncfco 15318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑦 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
33	27, 32	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
34	1, 33	mulcncf 15335	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (1 / 𝐵))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
35	15, 34	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  ⦋csb 3127   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852  –cn→ccncf 15297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-cncf 15298

This theorem is referenced by:  maxcncf  15342  mincncf  15343