Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssqlem GIF version

Theorem dvdssqlem 11752
 Description: Lemma for dvdssq 11753. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqlem ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqlem
StepHypRef Expression
1 nnz 9096 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2 nnz 9096 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 dvdssqim 11746 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
41, 2, 3syl2an 287 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5 sqgcd 11751 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
65adantr 274 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
7 nnsqcl 10392 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
8 nnsqcl 10392 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9 gcdeq 11745 . . . . . . . 8 (((𝑀↑2) ∈ ℕ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
107, 8, 9syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
1110biimpar 295 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
126, 11eqtrd 2173 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2))
13 gcdcl 11689 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
141, 2, 13syl2an 287 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 9054 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
1614nn0ge0d 9056 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
17 nnre 8750 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1817adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
19 nnnn0 9007 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
2019nn0ge0d 9056 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
22 sq11 10395 . . . . . . 7 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2315, 16, 18, 21, 22syl22anc 1218 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2423adantr 274 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
2512, 24mpbid 146 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀)
26 gcddvds 11686 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
271, 2, 26syl2an 287 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2827adantr 274 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2928simprd 113 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
3025, 29eqbrtrrd 3959 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → 𝑀𝑁)
3130ex 114 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) → 𝑀𝑁))
324, 31impbid 128 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  ℝcr 7642  0cc0 7643   ≤ cle 7824  ℕcn 8743  2c2 8794  ℕ0cn0 9000  ℤcz 9077  ↑cexp 10322   ∥ cdvds 11527   gcd cgcd 11669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528  df-gcd 11670 This theorem is referenced by:  dvdssq  11753
 Copyright terms: Public domain W3C validator