ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efadd Unicode version

Theorem efadd 11409
Description: Sum of exponents law for exponential function. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )

Proof of Theorem efadd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
2 eqid 2140 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( B ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
3 eqid 2140 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
4 simpl 108 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
5 simpr 109 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5efaddlem 11408 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481    |-> cmpt 3993   ` cfv 5127  (class class class)co 5778   CCcc 7638    + caddc 7643    x. cmul 7645    / cdiv 8452   NN0cn0 8997   ^cexp 10319   !cfa 10499   expce 11376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-disj 3911  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-isom 5136  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-frec 6292  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-er 6433  df-en 6639  df-dom 6640  df-fin 6641  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-ico 9703  df-fz 9818  df-fzo 9947  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-fac 10500  df-bc 10522  df-ihash 10550  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-clim 11076  df-sumdc 11151  df-ef 11382
This theorem is referenced by:  efcan  11410  efsub  11415  efexp  11416  efltim  11432  efeul  11468  sinadd  11470  cosadd  11471  absef  11503  efieq1re  11505  dvef  12887  efper  12927  relogmul  12989  rpcxpadd  13025  rpmulcxp  13029  rpabscxpbnd  13058
  Copyright terms: Public domain W3C validator