Theorem expge0 10764

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4066	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
2	1	elrab 2939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3		ssrab2 3289	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4		ax-resscn 8059	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3213	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6		breq2 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
7	6	elrab 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8		breq2 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		remulcl 8095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12		mulge0 8734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
13		breq2 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
14	13	elrab 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
15	11, 12, 14	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
16	7, 9, 15	syl2anb 291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
17		1re 8113	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		0le1 8596	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
19		breq2 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
20	19	elrab 2939	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
21	17, 18, 20	mpbir2an 947	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
22	5, 16, 21	expcllem 10739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
23		breq2 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
24	23	elrab 2939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
25	24	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
26	22, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
27	2, 26	sylanbr 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
28	27	3impa 1199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
29	28	3com23 1214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   ∈ wcel 2180  {crab 2492   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   · cmul 7972   ≤ cle 8150  ℕ₀cn0 9337  ↑cexp 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by:  leexp2r  10782  leexp1a  10783  expge0d  10880