Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expge0 GIF version

Theorem expge0 10433
 Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3965 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
21elrab 2864 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 3209 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 7803 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3133 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 3965 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
76elrab 2864 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8 breq2 3965 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 2864 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 remulcl 7839 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1110ad2ant2r 501 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12 mulge0 8473 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
13 breq2 3965 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1413elrab 2864 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1511, 12, 14sylanbrc 414 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
167, 9, 15syl2anb 289 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
17 1re 7856 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 0le1 8335 . . . . . . 7 0 ≤ 1
19 breq2 3965 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
2019elrab 2864 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
2117, 18, 20mpbir2an 927 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
225, 16, 21expcllem 10408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
23 breq2 3965 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2423elrab 2864 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2524simprbi 273 . . . . 5 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴𝑁))
2622, 25syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
272, 26sylanbr 283 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
28273impa 1177 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
29283com23 1188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2125  {crab 2436   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   · cmul 7716   ≤ cle 7892  ℕ0cn0 9069  ↑cexp 10396 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-seqfrec 10323  df-exp 10397 This theorem is referenced by:  leexp2r  10451  leexp1a  10452  expge0d  10546
 Copyright terms: Public domain W3C validator