Theorem expge0 10944

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
2	1	elrab 2975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3		ssrab2 3325	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4		ax-resscn 8224	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3249	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6		breq2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
7	6	elrab 2975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8		breq2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 2975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		remulcl 8260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12		mulge0 8898	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
13		breq2 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
14	13	elrab 2975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
15	11, 12, 14	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
16	7, 9, 15	syl2anb 291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
17		1re 8278	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		0le1 8760	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
19		breq2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
20	19	elrab 2975	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
21	17, 18, 20	mpbir2an 951	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
22	5, 16, 21	expcllem 10919	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
23		breq2 4115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
24	23	elrab 2975	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
25	24	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
26	22, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
27	2, 26	sylanbr 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
28	27	3impa 1221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
29	28	3com23 1236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   · cmul 8137   ≤ cle 8314  ℕ₀cn0 9501  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by:  leexp2r  10962  leexp1a  10963  expge0d  11061