ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcllem Unicode version
Theorem expcllem 10561
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 |- F C_ CC
expcllem.2 |- ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( x x. y ) e. F )
expcllem.3 |- 1 e. F
Assertion
Ref Expression
expcllem |- ( ( A e. F /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   x, F, y
Allowed substitution hint:   B( y)
Proof of Theorem expcllem
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9207 . 2 |- ( B e. NN0 <-> ( B e. NN \/ B = 0 ) )
2 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( A ^ z ) = ( A ^ 1 ) )
32eleq1d 2258 . . . . . 6 |- ( z = 1 -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ 1 ) e. F ) )
43imbi2d 230 . . . . 5 |- ( z = 1 -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ 1 ) e. F ) ) )
5 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( z = w -> ( A ^ z ) = ( A ^ w ) )
65eleq1d 2258 . . . . . 6 |- ( z = w -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ w ) e. F ) )
76imbi2d 230 . . . . 5 |- ( z = w -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ w ) e. F ) ) )
8 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A ^ z ) = ( A ^ ( w + 1 ) ) )
98eleq1d 2258 . . . . . 6 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) )
109imbi2d 230 . . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
11 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( z = B -> ( A ^ z ) = ( A ^ B ) )
1211eleq1d 2258 . . . . . 6 |- ( z = B -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ B ) e. F ) )
1312imbi2d 230 . . . . 5 |- ( z = B -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ B ) e. F ) ) )
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 |- F C_ CC
1514sseli 3166 . . . . . . . 8 |- ( A e. F -> A e. CC )
16 exp1 10556 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. F -> ( A ^ 1 ) = A )
1817eleq1d 2258 . . . . . 6 |- ( A e. F -> ( ( A ^ 1 ) e. F <-> A e. F ) )
1918ibir 177 . . . . 5 |- ( A e. F -> ( A ^ 1 ) e. F )
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( x x. y ) e. F )
2120caovcl 6050 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ w ) e. F /\ A e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
2221ancoms 268 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. F /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
2322adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
24 nnnn0 9212 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> w e. NN0 )
25 expp1 10557 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ w e. NN0 ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) = ( ( A ^ w ) x. A ) )
2615, 24, 25syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. F /\ w e. NN ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) = ( ( A ^ w ) x. A ) )
2726eleq1d 2258 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. F /\ w e. NN ) -> ( ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F <-> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F ) )
2827adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F <-> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F ) )
2923, 28mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F )
3029exp31 364 . . . . . . 7 |- ( A e. F -> ( w e. NN -> ( ( A ^ w ) e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
3130com12 30 . . . . . 6 |- ( w e. NN -> ( A e. F -> ( ( A ^ w ) e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
3231a2d 26 . . . . 5 |- ( w e. NN -> ( ( A e. F -> ( A ^ w ) e. F ) -> ( A e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 8964 . . . 4 |- ( B e. NN -> ( A e. F -> ( A ^ B ) e. F ) )
3433impcom 125 . . 3 |- ( ( A e. F /\ B e. NN ) -> ( A ^ B ) e. F )
35 oveq2 5903 . . . . 5 |- ( B = 0 -> ( A ^ B ) = ( A ^ 0 ) )
36 exp0 10554 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
3715, 36syl 14 . . . . 5 |- ( A e. F -> ( A ^ 0 ) = 1 )
3835, 37sylan9eqr 2244 . . . 4 |- ( ( A e. F /\ B = 0 ) -> ( A ^ B ) = 1 )
39 expcllem.3 . . . 4 |- 1 e. F
4038, 39eqeltrdi 2280 . . 3 |- ( ( A e. F /\ B = 0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
4134, 40jaodan 798 . 2 |- ( ( A e. F /\ ( B e. NN \/ B = 0 ) ) -> ( A ^ B ) e. F )
421, 41sylan2b 287 1 |- ( ( A e. F /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144  (class class class)co 5895   CCcc 7838   0cc0 7840   1c1 7841   + caddc 7843   x. cmul 7845   NNcn 8948   NN0cn0 9205   ^cexp 10549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-seqfrec 10476  df-exp 10550
This theorem is referenced by:  expcl2lemap  10562  nnexpcl  10563  nn0expcl  10564  zexpcl  10565  qexpcl  10566  reexpcl  10567  expcl  10568  expge0  10586  expge1  10587  lgsfcl2  14860
  Copyright terms: Public domain W3C validator