ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcllem Unicode version
Theorem expcllem 10466
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 |- F C_ CC
expcllem.2 |- ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( x x. y ) e. F )
expcllem.3 |- 1 e. F
Assertion
Ref Expression
expcllem |- ( ( A e. F /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   x, F, y
Allowed substitution hint:   B( y)
Proof of Theorem expcllem
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9116 . 2 |- ( B e. NN0 <-> ( B e. NN \/ B = 0 ) )
2 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( A ^ z ) = ( A ^ 1 ) )
32eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( z = 1 -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ 1 ) e. F ) )
43imbi2d 229 . . . . 5 |- ( z = 1 -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ 1 ) e. F ) ) )
5 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( z = w -> ( A ^ z ) = ( A ^ w ) )
65eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( z = w -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ w ) e. F ) )
76imbi2d 229 . . . . 5 |- ( z = w -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ w ) e. F ) ) )
8 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( A ^ z ) = ( A ^ ( w + 1 ) ) )
98eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) )
109imbi2d 229 . . . . 5 |- ( z = ( w + 1 ) -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
11 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( z = B -> ( A ^ z ) = ( A ^ B ) )
1211eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( z = B -> ( ( A ^ z ) e. F <-> ( A ^ B ) e. F ) )
1312imbi2d 229 . . . . 5 |- ( z = B -> ( ( A e. F -> ( A ^ z ) e. F ) <-> ( A e. F -> ( A ^ B ) e. F ) ) )
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 |- F C_ CC
1514sseli 3138 . . . . . . . 8 |- ( A e. F -> A e. CC )
16 exp1 10461 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. F -> ( A ^ 1 ) = A )
1817eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( A e. F -> ( ( A ^ 1 ) e. F <-> A e. F ) )
1918ibir 176 . . . . 5 |- ( A e. F -> ( A ^ 1 ) e. F )
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( x x. y ) e. F )
2120caovcl 5996 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ^ w ) e. F /\ A e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
2221ancoms 266 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. F /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
2322adantlr 469 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F )
24 nnnn0 9121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> w e. NN0 )
25 expp1 10462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ w e. NN0 ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) = ( ( A ^ w ) x. A ) )
2615, 24, 25syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. F /\ w e. NN ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) = ( ( A ^ w ) x. A ) )
2726eleq1d 2235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. F /\ w e. NN ) -> ( ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F <-> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F ) )
2827adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F <-> ( ( A ^ w ) x. A ) e. F ) )
2923, 28mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. F /\ w e. NN ) /\ ( A ^ w ) e. F ) -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F )
3029exp31 362 . . . . . . 7 |- ( A e. F -> ( w e. NN -> ( ( A ^ w ) e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
3130com12 30 . . . . . 6 |- ( w e. NN -> ( A e. F -> ( ( A ^ w ) e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
3231a2d 26 . . . . 5 |- ( w e. NN -> ( ( A e. F -> ( A ^ w ) e. F ) -> ( A e. F -> ( A ^ ( w + 1 ) ) e. F ) ) )
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 8873 . . . 4 |- ( B e. NN -> ( A e. F -> ( A ^ B ) e. F ) )
3433impcom 124 . . 3 |- ( ( A e. F /\ B e. NN ) -> ( A ^ B ) e. F )
35 oveq2 5850 . . . . 5 |- ( B = 0 -> ( A ^ B ) = ( A ^ 0 ) )
36 exp0 10459 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
3715, 36syl 14 . . . . 5 |- ( A e. F -> ( A ^ 0 ) = 1 )
3835, 37sylan9eqr 2221 . . . 4 |- ( ( A e. F /\ B = 0 ) -> ( A ^ B ) = 1 )
39 expcllem.3 . . . 4 |- 1 e. F
4038, 39eqeltrdi 2257 . . 3 |- ( ( A e. F /\ B = 0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
4134, 40jaodan 787 . 2 |- ( ( A e. F /\ ( B e. NN \/ B = 0 ) ) -> ( A ^ B ) e. F )
421, 41sylan2b 285 1 |- ( ( A e. F /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ^cexp 10454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455
This theorem is referenced by:  expcl2lemap  10467  nnexpcl  10468  nn0expcl  10469  zexpcl  10470  qexpcl  10471  reexpcl  10472  expcl  10473  expge0  10491  expge1  10492  lgsfcl2  13547
  Copyright terms: Public domain W3C validator