Theorem fisum0diag 11467

Description: Two ways to express "the sum of A ( j , k ) over the triangular region M <_ j, M <_ k, j + k <_ N". (Contributed by NM, 31-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag.1	|- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
fisum0diag.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) A )

Distinct variable groups:   j, k, N   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( j, k)

Proof of Theorem fisum0diag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9283	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
2		fisum0diag.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10449	. 2 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
4		0zd 9283	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
5	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
6		elfzelz 10043	. . . . 5 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
8	5, 7	zsubcld 9398	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - j ) e. ZZ )
9	4, 8	fzfigd 10449	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( N - j ) ) e. Fin )
10		0zd 9283	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
11	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
12		elfzelz 10043	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
14	11, 13	zsubcld 9398	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. ZZ )
15	10, 14	fzfigd 10449	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... ( N - k ) ) e. Fin )
16		fsum0diaglem 11466	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) ) )
17		fsum0diaglem 11466	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) )
18	16, 17	impbii 126	. . 3 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) ) )
19	18	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) ) ) )
20		fsum0diag.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) ) ) -> A e. CC )
21	3, 3, 9, 15, 19, 20	fisumcom2 11464	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) sum_ k e. ( 0 ... ( N - j ) ) A = sum_ k e. ( 0 ... N ) sum_ j e. ( 0 ... ( N - k ) ) A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829   - cmin 8146   ZZcz 9271   ...cfz 10026   sum_csu 11379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380

This theorem is referenced by:  fisum0diag2  11473