Theorem fisum0diag 12227

Description: Two ways to express "the sum of 𝐴(𝑗, 𝑘) over the triangular region 𝑀 ≤ 𝑗, 𝑀 ≤ 𝑘, 𝑗 + 𝑘 ≤ 𝑁". (Contributed by NM, 31-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum0diag.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fisum0diag.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fisum0diag	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem fisum0diag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		fisum0diag.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10883	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
4		0zd 9661	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
5	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		elfzelz 10439	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 9778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
9	4, 8	fzfigd 10883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ∈ Fin)
10		0zd 9661	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
11	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfzelz 10439	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
15	10, 14	fzfigd 10883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁 − 𝑘)) ∈ Fin)
16		fsum0diaglem 12226	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))
17		fsum0diaglem 12226	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))))
18	16, 17	impbii 126	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))
19	18	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))))
20		fsum0diag.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	3, 3, 9, 15, 19, 20	fisumcom2 12224	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180   − cmin 8499  ℤcz 9649  ...cfz 10422  Σcsu 12138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139

This theorem is used by:  fisum0diag2  12233