Theorem gausslemma2dlem0h 15921

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 15934. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2dlem0.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2dlem0.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0h	|- ( ph -> N e. NN0 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.n	. 2 |- N = ( H - M )
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		gausslemma2dlem0.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
4	2, 3	gausslemma2dlem0b 15915	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
5	4	nnzd 9698	. . . 4 |- ( ph -> H e. ZZ )
6		gausslemma2dlem0.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
7	2, 6	gausslemma2dlem0d 15917	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
8	7	nn0zd 9697	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	5, 8	zsubcld 9704	. . 3 |- ( ph -> ( H - M ) e. ZZ )
10	2, 6, 3	gausslemma2dlem0g 15920	. . . 4 |- ( ph -> M <_ H )
11	4	nnred 9249	. . . . 5 |- ( ph -> H e. RR )
12	7	nn0red 9553	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
13	11, 12	subge0d 8808	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 <_ ( H - M ) <-> M <_ H ) )
14	10, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( H - M ) )
15		elnn0z 9589	. . 3 |- ( ( H - M ) e. NN0 <-> ( ( H - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( H - M ) ) )
16	9, 14, 15	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( H - M ) e. NN0 )
17	1, 16	eqeltrid 2319	1 |- ( ph -> N e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3207   {csn 3688   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   <_ cle 8308   - cmin 8443   / cdiv 8945   2c2 9287   4c4 9289   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   |_cfl 10627   Primecprime 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-prm 12801

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  15922  gausslemma2dlem6  15932  gausslemma2dlem7  15933  gausslemma2d  15934