Theorem gausslemma2dlem0h 15264

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 15277. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2dlem0.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2dlem0.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0h	|- ( ph -> N e. NN0 )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.n	. 2 |- N = ( H - M )
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		gausslemma2dlem0.h	. . . . . 6 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
4	2, 3	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . 5 |- ( ph -> H e. NN )
5	4	nnzd 9444	. . . 4 |- ( ph -> H e. ZZ )
6		gausslemma2dlem0.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
7	2, 6	gausslemma2dlem0d 15260	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
8	7	nn0zd 9443	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	5, 8	zsubcld 9450	. . 3 |- ( ph -> ( H - M ) e. ZZ )
10	2, 6, 3	gausslemma2dlem0g 15263	. . . 4 |- ( ph -> M <_ H )
11	4	nnred 9000	. . . . 5 |- ( ph -> H e. RR )
12	7	nn0red 9300	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
13	11, 12	subge0d 8559	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 <_ ( H - M ) <-> M <_ H ) )
14	10, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( H - M ) )
15		elnn0z 9336	. . 3 |- ( ( H - M ) e. NN0 <-> ( ( H - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( H - M ) ) )
16	9, 14, 15	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( H - M ) e. NN0 )
17	1, 16	eqeltrid 2283	1 |- ( ph -> N e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   {csn 3622   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7877   1c1 7878   <_ cle 8060   - cmin 8195   / cdiv 8696   2c2 9038   4c4 9040   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   |_cfl 10343   Primecprime 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fl 10345  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-dvds 11937  df-prm 12252

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  15265  gausslemma2dlem6  15275  gausslemma2dlem7  15276  gausslemma2d  15277