Theorem gausslemma2dlem6 15932

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15934. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2d.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   R( x)   N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . 4 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		gausslemma2d.m	. . . 4 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 15929	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
6	5	oveq1d 6064	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
7		1zzd 9603	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8	1	gausslemma2dlem0a 15914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
9	8	nnzd 9698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
10		4nn 9400	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
11		znq 9955	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10636	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
14	4, 13	eqeltrid 2319	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
15	7, 14	fzfigd 10792	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 15927	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
18		rspa 2590	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
21		elfzelz 10358	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. ZZ )
22		2z 9604	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> 2 e. ZZ )
24	21, 23	zmulcld 9705	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
26		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( k x. 2 ) e. ZZ ) )
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
30	15, 29	fprodzcl 12291	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ )
31	14	peano2zd 9702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15915	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9698	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10792	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) e. Fin )
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15928	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
37		rspa 2590	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		elfzelz 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. ZZ )
42	40, 41	zmulcld 9705	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
43		zsubcl 9617	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k x. 2 ) e. ZZ ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
45		eleq1 2295	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
49	34, 48	fprodzcl 12291	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ )
50		zq 9957	. . . 4 |- ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
52		nnq 9964	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
53	8, 52	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P e. QQ )
54	8	nngt0d 9280	. . 3 |- ( ph -> 0 < P )
55		modqmulmodr 10751	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
56	55	eqcomd 2238	. . 3 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 |- N = ( H - M )
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 15931	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) )
60	59	oveq2d 6065	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) )
61	60	oveq1d 6064	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
62		neg1z 9608	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 15921	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
64		zexpcl 10915	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
65	62, 63, 64	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
68	66, 67	zmulcld 9705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
69	34, 68	fprodzcl 12291	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. ZZ )
70	65, 69	zmulcld 9705	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
71		zq 9957	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
72	70, 71	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
73		modqmulmodr 10751	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1275	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
75	16	prodeq2d 12247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) )
76	75	oveq1d 6064	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
77	7, 33	fzfigd 10792	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
78		elfzelz 10358	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
79	78	zcnd 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. CC )
81		2cnd 9309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
82	77, 80, 81	fprodmul 12273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) )
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 15917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
84	83	nn0red 9553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
85	84	ltp1d 9203	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
86		fzdisj 10385	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
88		nn0pzuz 9918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89	83, 7, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
90	83	nn0zd 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 15920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ H )
92		eluz2 9858	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
94		fzsplit2 10383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ H e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
97	78, 96	zmulcld 9705	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
99	98	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 12279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
101		nnoddn2prm 12954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
102		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
105		nn0oddm1d2 12591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
107	2, 106	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> H e. NN0 )
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN0 )
109		fprodfac 12297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
111	110	eqcomd 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) k = ( ! ` H ) )
112		2cn 9307	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
113		fprodconst 12302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
114	77, 112, 113	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
115	111, 114	oveq12d 6067	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) )
116		hashfz1 11144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
118	117	oveq2d 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) = ( 2 ^ H ) )
119	118	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) )
120	108	faccld 11097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
121	120	nncnd 9250	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. CC )
122		2nn0 9512	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
123		nn0expcl 10914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. CC )
125	122, 108, 124	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ H ) e. CC )
126	121, 125	mulcomd 8294	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
127	115, 119, 126	3eqtrd 2269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
129	76, 128	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
130	129	oveq2d 6065	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
131	30	zcnd 9700	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. CC )
132		neg1rr 9342	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
134	133, 63	reexpcld 11051	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
135	134	recnd 8301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. CC )
136	69	zcnd 9700	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. CC )
137	131, 135, 136	mul12d 8424	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) )
138	135, 125, 121	mulassd 8296	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) )
140	139	oveq1d 6064	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
141	61, 74, 140	3eqtrd 2269	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
142	6, 57, 141	3eqtrd 2269	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   (/)c0 3507   ifcif 3619   {csn 3688   class class class wbr 4108   |-> cmpt 4170   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Fincfn 6974   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   -ucneg 8444   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   4c4 9289   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   QQcq 9950   ...cfz 10341   |_cfl 10627   mod cmo 10683   ^cexp 10899   !cfa 11086  ♯chash 11136   prod_cprod 12232   || cdvds 12469   Primecprime 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-ioo 10224  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-proddc 12233  df-dvds 12470  df-prm 12801

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15933