Theorem gausslemma2dlem6 15731

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2d.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   R( x)   N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . 4 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		gausslemma2d.m	. . . 4 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 15728	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
6	5	oveq1d 6009	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
7		1zzd 9461	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8	1	gausslemma2dlem0a 15713	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
9	8	nnzd 9556	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
10		4nn 9262	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
11		znq 9807	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10484	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
14	4, 13	eqeltrid 2316	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
15	7, 14	fzfigd 10640	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 15726	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
18		rspa 2578	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
21		elfzelz 10209	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. ZZ )
22		2z 9462	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> 2 e. ZZ )
24	21, 23	zmulcld 9563	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
26		eleq1 2292	. . . . . . 7 |- ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( k x. 2 ) e. ZZ ) )
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
30	15, 29	fprodzcl 12106	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ )
31	14	peano2zd 9560	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15714	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9556	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10640	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) e. Fin )
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15727	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
37		rspa 2578	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		elfzelz 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. ZZ )
42	40, 41	zmulcld 9563	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
43		zsubcl 9475	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k x. 2 ) e. ZZ ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
45		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
49	34, 48	fprodzcl 12106	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ )
50		zq 9809	. . . 4 |- ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
52		nnq 9816	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
53	8, 52	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P e. QQ )
54	8	nngt0d 9142	. . 3 |- ( ph -> 0 < P )
55		modqmulmodr 10599	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
56	55	eqcomd 2235	. . 3 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1272	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 |- N = ( H - M )
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 15730	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) )
60	59	oveq2d 6010	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) )
61	60	oveq1d 6009	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
62		neg1z 9466	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 15720	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
64		zexpcl 10763	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
65	62, 63, 64	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
68	66, 67	zmulcld 9563	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
69	34, 68	fprodzcl 12106	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. ZZ )
70	65, 69	zmulcld 9563	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
71		zq 9809	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
72	70, 71	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
73		modqmulmodr 10599	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1272	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
75	16	prodeq2d 12062	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) )
76	75	oveq1d 6009	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
77	7, 33	fzfigd 10640	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
78		elfzelz 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
79	78	zcnd 9558	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. CC )
81		2cnd 9171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
82	77, 80, 81	fprodmul 12088	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) )
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 15716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
84	83	nn0red 9411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
85	84	ltp1d 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
86		fzdisj 10236	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
88		nn0pzuz 9770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89	83, 7, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
90	83	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 15719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ H )
92		eluz2 9716	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
94		fzsplit2 10234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ H e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
97	78, 96	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
99	98	zcnd 9558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 12094	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
101		nnoddn2prm 12769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
102		nnnn0 9364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
105		nn0oddm1d2 12406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
107	2, 106	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> H e. NN0 )
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN0 )
109		fprodfac 12112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
111	110	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) k = ( ! ` H ) )
112		2cn 9169	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
113		fprodconst 12117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
114	77, 112, 113	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
115	111, 114	oveq12d 6012	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) )
116		hashfz1 10992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
118	117	oveq2d 6010	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) = ( 2 ^ H ) )
119	118	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) )
120	108	faccld 10945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
121	120	nncnd 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. CC )
122		2nn0 9374	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
123		nn0expcl 10762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. CC )
125	122, 108, 124	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ H ) e. CC )
126	121, 125	mulcomd 8156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
127	115, 119, 126	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
129	76, 128	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
130	129	oveq2d 6010	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
131	30	zcnd 9558	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. CC )
132		neg1rr 9204	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
134	133, 63	reexpcld 10899	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
135	134	recnd 8163	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. CC )
136	69	zcnd 9558	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. CC )
137	131, 135, 136	mul12d 8286	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) )
138	135, 125, 121	mulassd 8158	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) )
140	139	oveq1d 6009	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
141	61, 74, 140	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
142	6, 57, 141	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Fincfn 6877   CCcc 7985   RRcr 7986   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   < clt 8169   <_ cle 8170   - cmin 8305   -ucneg 8306   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   4c4 9151   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   QQcq 9802   ...cfz 10192   |_cfl 10475   mod cmo 10531   ^cexp 10747   !cfa 10934  ♯chash 10984   prod_cprod 12047   || cdvds 12284   Primecprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-ioo 10076  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-proddc 12048  df-dvds 12285  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15732