Theorem gausslemma2dlem6 16198

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 16200. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2d.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   R( x)   N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . 4 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		gausslemma2d.m	. . . 4 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 16195	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
6	5	oveq1d 6100	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
7		1zzd 9673	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8	1	gausslemma2dlem0a 16180	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
9	8	nnzd 9769	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
10		4nn 9470	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
11		znq 10026	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
12	9, 10, 11	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10714	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
14	4, 13	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
15	7, 14	fzfigd 10870	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 16193	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
18		rspa 2598	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
21		elfzelz 10430	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. ZZ )
22		2z 9674	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> 2 e. ZZ )
24	21, 23	zmulcld 9776	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
26		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( k x. 2 ) e. ZZ ) )
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
30	15, 29	fprodzcl 12378	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ )
31	14	peano2zd 9773	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 16181	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9769	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10870	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) e. Fin )
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 16194	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
37		rspa 2598	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		elfzelz 10430	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. ZZ )
42	40, 41	zmulcld 9776	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
43		zsubcl 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k x. 2 ) e. ZZ ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
45		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
49	34, 48	fprodzcl 12378	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ )
50		zq 10028	. . . 4 |- ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
52		nnq 10035	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
53	8, 52	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P e. QQ )
54	8	nngt0d 9349	. . 3 |- ( ph -> 0 < P )
55		modqmulmodr 10829	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
56	55	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1279	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 |- N = ( H - M )
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 16197	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) )
60	59	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) )
61	60	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
62		neg1z 9678	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 16187	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
64		zexpcl 10993	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
65	62, 63, 64	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
68	66, 67	zmulcld 9776	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
69	34, 68	fprodzcl 12378	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. ZZ )
70	65, 69	zmulcld 9776	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
71		zq 10028	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
72	70, 71	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
73		modqmulmodr 10829	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
75	16	prodeq2d 12334	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) )
76	75	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
77	7, 33	fzfigd 10870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
78		elfzelz 10430	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
79	78	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. CC )
81		2cnd 9378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
82	77, 80, 81	fprodmul 12360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) )
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 16183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
84	83	nn0red 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
85	84	ltp1d 9261	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
86		fzdisj 10459	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
88		nn0pzuz 9989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89	83, 7, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
90	83	nn0zd 9768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 16186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ H )
92		eluz2 9929	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
94		fzsplit2 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ H e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
97	78, 96	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
99	98	zcnd 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 12366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
101		nnoddn2prm 13041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
102		nnnn0 9572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
105		nn0oddm1d2 12678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
107	2, 106	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> H e. NN0 )
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN0 )
109		fprodfac 12384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
111	110	eqcomd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) k = ( ! ` H ) )
112		2cn 9376	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
113		fprodconst 12389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
114	77, 112, 113	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
115	111, 114	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) )
116		hashfz1 11224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
118	117	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) = ( 2 ^ H ) )
119	118	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) )
120	108	faccld 11176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
121	120	nncnd 9319	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. CC )
122		2nn0 9582	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
123		nn0expcl 10992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. CC )
125	122, 108, 124	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ H ) e. CC )
126	121, 125	mulcomd 8347	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
127	115, 119, 126	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
129	76, 128	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
130	129	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
131	30	zcnd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. CC )
132		neg1rr 9411	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
134	133, 63	reexpcld 11130	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
135	134	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. CC )
136	69	zcnd 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. CC )
137	131, 135, 136	mul12d 8478	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) )
138	135, 125, 121	mulassd 8349	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) )
140	139	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
141	61, 74, 140	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
142	6, 57, 141	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   -ucneg 8498   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   4c4 9358   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   QQcq 10021   ...cfz 10413   |_cfl 10705   mod cmo 10761   ^cexp 10977   !cfa 11165  ♯chash 11216   prod_cprod 12319   || cdvds 12556   Primecprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-ioo 10296  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-fac 11166  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-prm 12888

This theorem is used by:  gausslemma2dlem7  16199