Theorem gausslemma2dlem6 15614

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15616. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
gausslemma2d.n	|- N = ( H - M )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	|- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   x, M

Allowed substitution hints:   R( x)   N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . 4 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4		gausslemma2d.m	. . . 4 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 15611	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
6	5	oveq1d 5971	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
7		1zzd 9414	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8	1	gausslemma2dlem0a 15596	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
9	8	nnzd 9509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
10		4nn 9215	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
11		znq 9760	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P / 4 ) e. QQ )
13	12	flqcld 10437	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
14	4, 13	eqeltrid 2293	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
15	7, 14	fzfigd 10593	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
16	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 15609	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
18		rspa 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) ) )
21		elfzelz 10162	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. ZZ )
22		2z 9415	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> 2 e. ZZ )
24	21, 23	zmulcld 9516	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
26		eleq1 2269	. . . . . . 7 |- ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( k x. 2 ) e. ZZ ) )
27	25, 26	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
28	20, 27	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
29	17, 28	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
30	15, 29	fprodzcl 11990	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ )
31	14	peano2zd 9513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15597	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9509	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10593	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) e. Fin )
35	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15610	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
37		rspa 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
38	37	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		elfzelz 10162	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
41	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. ZZ )
42	40, 41	zmulcld 9516	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
43		zsubcl 9428	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k x. 2 ) e. ZZ ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
44	9, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
45		eleq1 2269	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( ( R ` k ) e. ZZ <-> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
47	39, 46	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ ) )
48	36, 47	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
49	34, 48	fprodzcl 11990	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ )
50		zq 9762	. . . 4 |- ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. ZZ -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
51	49, 50	syl 14	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ )
52		nnq 9769	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
53	8, 52	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P e. QQ )
54	8	nngt0d 9095	. . 3 |- ( ph -> 0 < P )
55		modqmulmodr 10552	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) )
56	55	eqcomd 2212	. . 3 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
57	30, 51, 53, 54, 56	syl22anc 1251	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) )
58		gausslemma2d.n	. . . . . 6 |- N = ( H - M )
59	1, 2, 3, 4, 58	gausslemma2dlem5 15613	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) )
60	59	oveq2d 5972	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) )
61	60	oveq1d 5971	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) )
62		neg1z 9419	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
63	1, 4, 2, 58	gausslemma2dlem0h 15603	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
64		zexpcl 10716	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
65	62, 63, 64	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. ZZ )
66	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
67	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
68	66, 67	zmulcld 9516	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
69	34, 68	fprodzcl 11990	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. ZZ )
70	65, 69	zmulcld 9516	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
71		zq 9762	. . . . 5 |- ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. ZZ -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
72	70, 71	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ )
73		modqmulmodr 10552	. . . 4 |- ( ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) e. QQ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
74	30, 72, 53, 54, 73	syl22anc 1251	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) mod P ) ) mod P ) = ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) )
75	16	prodeq2d 11946	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) )
76	75	oveq1d 5971	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
77	7, 33	fzfigd 10593	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
78		elfzelz 10162	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
79	78	zcnd 9511	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. CC )
81		2cnd 9124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
82	77, 80, 81	fprodmul 11972	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) )
83	1, 4	gausslemma2dlem0d 15599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN0 )
84	83	nn0red 9364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
85	84	ltp1d 9018	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
86		fzdisj 10189	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
88		nn0pzuz 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ 1 e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
89	83, 7, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
90	83	nn0zd 9508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
91	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 15602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ H )
92		eluz2 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
93	90, 33, 91, 92	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
94		fzsplit2 10187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ H e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
96	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
97	78, 96	zmulcld 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
99	98	zcnd 9511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
100	87, 95, 77, 99	fprodsplit 11978	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( k x. 2 ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) )
101		nnoddn2prm 12653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
102		nnnn0 9317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
103	102	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
104	101, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) )
105		nn0oddm1d2 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN0 -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
106	105	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
107	2, 106	eqeltrid 2293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN0 /\ -. 2 || P ) -> H e. NN0 )
108	1, 104, 107	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN0 )
109		fprodfac 11996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) k )
111	110	eqcomd 2212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) k = ( ! ` H ) )
112		2cn 9122	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
113		fprodconst 12001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... H ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
114	77, 112, 113	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 = ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) )
115	111, 114	oveq12d 5974	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) )
116		hashfz1 10945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
117	108, 116	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... H ) ) = H )
118	117	oveq2d 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) = ( 2 ^ H ) )
119	118	oveq2d 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ (♯ ` ( 1 ... H ) ) ) ) = ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) )
120	108	faccld 10898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. NN )
121	120	nncnd 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` H ) e. CC )
122		2nn0 9327	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
123		nn0expcl 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ H e. NN0 ) -> ( 2 ^ H ) e. CC )
125	122, 108, 124	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ H ) e. CC )
126	121, 125	mulcomd 8109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) x. ( 2 ^ H ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
127	115, 119, 126	3eqtrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) k x. prod_ k e. ( 1 ... H ) 2 ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
128	82, 100, 127	3eqtr3d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( k x. 2 ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
129	76, 128	eqtrd 2239	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) )
130	129	oveq2d 5972	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
131	30	zcnd 9511	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) e. CC )
132		neg1rr 9157	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. RR
133	132	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
134	133, 63	reexpcld 10852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. RR )
135	134	recnd 8116	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ N ) e. CC )
136	69	zcnd 9511	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) e. CC )
137	131, 135, 136	mul12d 8239	. . . . 5 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) )
138	135, 125, 121	mulassd 8111	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) = ( ( -u 1 ^ N ) x. ( ( 2 ^ H ) x. ( ! ` H ) ) ) )
139	130, 137, 138	3eqtr4d 2249	. . . 4 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) )
140	139	oveq1d 5971	. . 3 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( ( -u 1 ^ N ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( k x. 2 ) ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
141	61, 74, 140	3eqtrd 2243	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. ( prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) mod P ) ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )
142	6, 57, 141	3eqtrd 2243	1 |- ( ph -> ( ( ! ` H ) mod P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ N ) x. ( 2 ^ H ) ) x. ( ! ` H ) ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   \ cdif 3167   u. cun 3168   i^i cin 3169   (/)c0 3464   ifcif 3575   {csn 3637   class class class wbr 4050   |-> cmpt 4112   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Fincfn 6839   CCcc 7938   RRcr 7939   0cc0 7940   1c1 7941   + caddc 7943   x. cmul 7945   < clt 8122   <_ cle 8123   - cmin 8258   -ucneg 8259   / cdiv 8760   NNcn 9051   2c2 9102   4c4 9104   NN0cn0 9310   ZZcz 9387   ZZ>=cuz 9663   QQcq 9755   ...cfz 10145   |_cfl 10428   mod cmo 10484   ^cexp 10700   !cfa 10887  ♯chash 10937   prod_cprod 11931   || cdvds 12168   Primecprime 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-tp 3645  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-2o 6515  df-oadd 6518  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-ioo 10029  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-fl 10430  df-mod 10485  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-fac 10888  df-ihash 10938  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-proddc 11932  df-dvds 12169  df-prm 12500

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15615