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Theorem gausslemma2dlem6 15275
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 15277. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
gausslemma2d.h  |-  H  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
gausslemma2d.r  |-  R  =  ( x  e.  ( 1 ... H ) 
|->  if ( ( x  x.  2 )  < 
( P  /  2
) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  (
x  x.  2 ) ) ) )
gausslemma2d.m  |-  M  =  ( |_ `  ( P  /  4 ) )
gausslemma2d.n  |-  N  =  ( H  -  M
)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  H )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
2 ^ H ) )  x.  ( ! `
 H ) )  mod  P ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, P    ph, x    x, M
Allowed substitution hints:    R( x)    N( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 gausslemma2d.h . . . 4  |-  H  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
3 gausslemma2d.r . . . 4  |-  R  =  ( x  e.  ( 1 ... H ) 
|->  if ( ( x  x.  2 )  < 
( P  /  2
) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  (
x  x.  2 ) ) ) )
4 gausslemma2d.m . . . 4  |-  M  =  ( |_ `  ( P  /  4 ) )
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 15272 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ! `  H
)  =  ( prod_
k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
) ) )
65oveq1d 5937 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  H )  mod  P
)  =  ( (
prod_ k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
) )  mod  P
) )
7 1zzd 9350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
81gausslemma2dlem0a 15257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
98nnzd 9444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
10 4nn 9151 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
11 znq 9695 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( P  /  4
)  e.  QQ )
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  /  4
)  e.  QQ )
1312flqcld 10352 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( P  /  4 ) )  e.  ZZ )
144, 13eqeltrid 2283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
157, 14fzfigd 10508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
161, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 15270 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  =  ( k  x.  2 ) )
1716adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  =  ( k  x.  2 ) )
18 rspa 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  =  ( k  x.  2 )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( R `  k )  =  ( k  x.  2 ) )
1918expcom 116 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( R `  k )  =  ( k  x.  2 ) ) )
2019adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( R `  k )  =  ( k  x.  2 ) ) )
21 elfzelz 10097 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  ZZ )
22 2z 9351 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
2322a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  2  e.  ZZ )
2421, 23zmulcld 9451 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
2524adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
26 eleq1 2259 . . . . . . 7  |-  ( ( R `  k )  =  ( k  x.  2 )  ->  (
( R `  k
)  e.  ZZ  <->  ( k  x.  2 )  e.  ZZ ) )
2725, 26syl5ibrcom 157 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( R `  k
)  =  ( k  x.  2 )  -> 
( R `  k
)  e.  ZZ ) )
2820, 27syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( A. k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( R `  k )  e.  ZZ ) )
2917, 28mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( R `  k )  e.  ZZ )
3015, 29fprodzcl 11758 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  e.  ZZ )
3114peano2zd 9448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
321, 2gausslemma2dlem0b 15258 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  NN )
3332nnzd 9444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
3431, 33fzfigd 10508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... H
)  e.  Fin )
351, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 15271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
3635adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  A. k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( R `  k )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
37 rspa 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  /\  k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) )  ->  ( R `  k )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
3837expcom 116 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  -> 
( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) ) )
3938adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  -> 
( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) ) )
40 elfzelz 10097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  k  e.  ZZ )
4122a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  2  e.  ZZ )
4240, 41zmulcld 9451 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
43 zsubcl 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  e.  ZZ )  ->  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ )
449, 42, 43syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ )
45 eleq1 2259 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  k )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  ->  (
( R `  k
)  e.  ZZ  <->  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ ) )
4644, 45syl5ibrcom 157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  (
( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  -> 
( R `  k
)  e.  ZZ ) )
4739, 46syld 45 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  -> 
( R `  k
)  e.  ZZ ) )
4836, 47mpd 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( R `  k )  e.  ZZ )
4934, 48fprodzcl 11758 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  e.  ZZ )
50 zq 9697 . . . 4  |-  ( prod_
k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  e.  ZZ  ->  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `
 k )  e.  QQ )
5149, 50syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  e.  QQ )
52 nnq 9704 . . . 4  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
538, 52syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  QQ )
548nngt0d 9031 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  P )
55 modqmulmodr 10467 . . . 4  |-  ( ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  e.  ZZ  /\  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  e.  QQ )  /\  ( P  e.  QQ  /\  0  <  P ) )  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k )  x.  ( prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( R `  k )  mod  P
) )  mod  P
)  =  ( (
prod_ k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
) )  mod  P
) )
5655eqcomd 2202 . . 3  |-  ( ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  e.  ZZ  /\  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  e.  QQ )  /\  ( P  e.  QQ  /\  0  <  P ) )  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
) )  mod  P
)  =  ( (
prod_ k  e.  (
1 ... M ) ( R `  k )  x.  ( prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( R `  k )  mod  P
) )  mod  P
) )
5730, 51, 53, 54, 56syl22anc 1250 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `
 k ) )  mod  P )  =  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  ( prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  mod  P ) )  mod  P ) )
58 gausslemma2d.n . . . . . 6  |-  N  =  ( H  -  M
)
591, 2, 3, 4, 58gausslemma2dlem5 15274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  mod 
P ) )
6059oveq2d 5938 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  ( prod_
k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  mod  P ) )  =  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  mod  P ) ) )
6160oveq1d 5937 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  ( prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  mod  P ) )  mod  P ) )
62 neg1z 9355 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  ZZ
631, 4, 2, 58gausslemma2dlem0h 15264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
64 zexpcl 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  ZZ )
6562, 63, 64sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  ZZ )
6640adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  k  e.  ZZ )
6722a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  2  e.  ZZ )
6866, 67zmulcld 9451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
6934, 68fprodzcl 11758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 )  e.  ZZ )
7065, 69zmulcld 9451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ )
71 zq 9697 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  e.  QQ )
7270, 71syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  e.  QQ )
73 modqmulmodr 10467 . . . 4  |-  ( ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  e.  ZZ  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  e.  QQ )  /\  ( P  e.  QQ  /\  0  <  P ) )  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k )  x.  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  mod 
P ) )  mod 
P )  =  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )  mod  P ) )
7430, 72, 53, 54, 73syl22anc 1250 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  (
( -u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )  mod  P ) )
7516prodeq2d 11714 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  =  prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k  x.  2 ) )
7675oveq1d 5937 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  =  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k  x.  2 )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )
777, 33fzfigd 10508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... H
)  e.  Fin )
78 elfzelz 10097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... H )  ->  k  e.  ZZ )
7978zcnd 9446 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... H )  ->  k  e.  CC )
8079adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... H
) )  ->  k  e.  CC )
81 2cnd 9060 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... H
) )  ->  2  e.  CC )
8277, 80, 81fprodmul 11740 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) ( k  x.  2 )  =  ( prod_
k  e.  ( 1 ... H ) k  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) 2 ) )
831, 4gausslemma2dlem0d 15260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8483nn0red 9300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
8584ltp1d 8954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
86 fzdisj 10124 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... H ) )  =  (/) )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... H ) )  =  (/) )
88 nn0pzuz 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8983, 7, 88syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
9083nn0zd 9443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
911, 4, 2gausslemma2dlem0g 15263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  H )
92 eluz2 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  M  <_  H ) )
9390, 33, 91, 92syl3anbrc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ZZ>= `  M ) )
94 fzsplit2 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  H  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1 ... H )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... H ) ) )
9589, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... H
)  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ) )
9622a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... H )  ->  2  e.  ZZ )
9778, 96zmulcld 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... H )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
9897adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... H
) )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
9998zcnd 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... H
) )  ->  (
k  x.  2 )  e.  CC )
10087, 95, 77, 99fprodsplit 11746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) ( k  x.  2 )  =  ( prod_
k  e.  ( 1 ... M ) ( k  x.  2 )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) ) )
101 nnoddn2prm 12405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  P
) )
102 nnnn0 9253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  NN0 )
103102anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  NN  /\  -.  2  ||  P )  ->  ( P  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  P ) )
104101, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  P
) )
105 nn0oddm1d2 12056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  P  <->  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
106105biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  -.  2  ||  P )  ->  ( ( P  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
1072, 106eqeltrid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  -.  2  ||  P )  ->  H  e.  NN0 )
1081, 104, 1073syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
109 fprodfac 11764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  NN0  ->  ( ! `
 H )  = 
prod_ k  e.  (
1 ... H ) k )
110108, 109syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ! `  H
)  =  prod_ k  e.  ( 1 ... H
) k )
111110eqcomd 2202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) k  =  ( ! `
 H ) )
112 2cn 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
113 fprodconst 11769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... H
)  e.  Fin  /\  2  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) 2  =  ( 2 ^ ( `  (
1 ... H ) ) ) )
11477, 112, 113sylancl 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... H ) 2  =  ( 2 ^ ( `  (
1 ... H ) ) ) )
115111, 114oveq12d 5940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... H ) k  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... H
) 2 )  =  ( ( ! `  H )  x.  (
2 ^ ( `  (
1 ... H ) ) ) ) )
116 hashfz1 10860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... H ) )  =  H )
117108, 116syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `  ( 1 ... H ) )  =  H )
118117oveq2d 5938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( `  ( 1 ... H
) ) )  =  ( 2 ^ H
) )
119118oveq2d 5938 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  H )  x.  (
2 ^ ( `  (
1 ... H ) ) ) )  =  ( ( ! `  H
)  x.  ( 2 ^ H ) ) )
120108faccld 10813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ! `  H
)  e.  NN )
121120nncnd 9001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  H
)  e.  CC )
122 2nn0 9263 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
123 nn0expcl 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  H  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ H
)  e.  NN0 )
124123nn0cnd 9301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  H  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ H
)  e.  CC )
125122, 108, 124sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ H
)  e.  CC )
126121, 125mulcomd 8046 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  H )  x.  (
2 ^ H ) )  =  ( ( 2 ^ H )  x.  ( ! `  H ) ) )
127115, 119, 1263eqtrd 2233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... H ) k  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... H
) 2 )  =  ( ( 2 ^ H )  x.  ( ! `  H )
) )
12882, 100, 1273eqtr3d 2237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k  x.  2 )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  =  ( ( 2 ^ H )  x.  ( ! `  H )
) )
12976, 128eqtrd 2229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) )  =  ( ( 2 ^ H )  x.  ( ! `  H )
) )
130129oveq2d 5938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( 2 ^ H
)  x.  ( ! `
 H ) ) ) )
13130zcnd 9446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  e.  CC )
132 neg1rr 9093 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
133132a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
134133, 63reexpcld 10767 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
135134recnd 8053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
13669zcnd 9446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 )  e.  CC )
137131, 135, 136mul12d 8176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( k  x.  2 ) ) ) )
138135, 125, 121mulassd 8048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( 2 ^ H ) )  x.  ( ! `  H
) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( 2 ^ H
)  x.  ( ! `
 H ) ) ) )
139130, 137, 1383eqtr4d 2239 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( R `  k
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( 2 ^ H ) )  x.  ( ! `  H ) ) )
140139oveq1d 5937 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  (
( -u 1 ^ N
)  x.  prod_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) ( k  x.  2 ) ) )  mod  P )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( 2 ^ H ) )  x.  ( ! `  H ) )  mod 
P ) )
14161, 74, 1403eqtrd 2233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( prod_ k  e.  ( 1 ... M
) ( R `  k )  x.  ( prod_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( 2 ^ H ) )  x.  ( ! `  H ) )  mod 
P ) )
1426, 57, 1413eqtrd 2233 1  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  H )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
2 ^ H ) )  x.  ( ! `
 H ) )  mod  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2167   A.wral 2475    \ cdif 3154    u. cun 3155    i^i cin 3156   (/)c0 3450   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033    |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7875   RRcr 7876   0cc0 7877   1c1 7878    + caddc 7880    x. cmul 7882    < clt 8059    <_ cle 8060    - cmin 8195   -ucneg 8196    / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   4c4 9040   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598   QQcq 9690   ...cfz 10080   |_cfl 10343    mod cmo 10399   ^cexp 10615   !cfa 10802  ♯chash 10852   prod_cprod 11699    || cdvds 11936   Primecprime 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-ioo 9964  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-fac 10803  df-ihash 10853  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-clim 11428  df-proddc 11700  df-dvds 11937  df-prm 12252
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  15276
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