Theorem gausslemma2dlem0h 15577

Description: Auxiliary lemma 8 for gausslemma2d 15590. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0h	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		gausslemma2dlem0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
4	2, 3	gausslemma2dlem0b 15571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
6		gausslemma2dlem0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
7	2, 6	gausslemma2dlem0d 15573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 9500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	5, 8	zsubcld 9507	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	2, 6, 3	gausslemma2dlem0g 15576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
11	4	nnred 9056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
12	7	nn0red 9356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 12	subge0d 8615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐻 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐻))
14	10, 13	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻 − 𝑀))
15		elnn0z 9392	. . 3 ⊢ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐻 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐻 − 𝑀)))
16	9, 14, 15	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	1, 16	eqeltrid 2293	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3164  {csn 3634   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933   ≤ cle 8115   − cmin 8250   / cdiv 8752  2c2 9094  4c4 9096  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ⌊cfl 10418  ℙcprime 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-er 6627  df-en 6835  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-prm 12474

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  15578  gausslemma2dlem6  15588  gausslemma2dlem7  15589  gausslemma2d  15590