Theorem gsumbagdiaglem 15175

Description: Lemma for gsumbagdiagfi 15176. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumbagdiag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
gsumbagdiag.s	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiaglem	|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

Distinct variable groups:   x, D   y, D   f, F   x, F   y, F   f, I   f, X   x, X   y, X   f, Y   x, Y   y, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   D( f)   S( x, y, f)   I( x, y)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } )
2		breq1 4134	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x oR <_ ( F oF - X ) <-> Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
3	2	elrab 2982	. . . . 5 |- ( Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
4	1, 3	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) )
5	4	simpld 112	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. D )
6	4	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ ( F oF - X ) )
7		gsumbagdiag.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. D )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F e. D )
9		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. S )
10		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) )
11		gsumbagdiag.s	. . . . . . . . . 10 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
12	10, 11	elrab2 2985	. . . . . . . . 9 |- ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
13	9, 12	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. D )
15		gsumbagdiag.d	. . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
16	15	psrbagf 15163	. . . . . . 7 |- ( X e. D -> X : I --> NN0 )
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X : I --> NN0 )
18	13	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ F )
19	15	psrbagcon 15171	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
20	8, 17, 18, 19	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) )
21	20	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) oR <_ F )
22	15	psrbagf 15163	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
23	8, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F : I --> NN0 )
24	23	ffnd 5537	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F Fn I )
25	8, 24	fndmexd 5584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> I e. _V )
26	15	psrbagf 15163	. . . . . 6 |- ( Y e. D -> Y : I --> NN0 )
27	5, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y : I --> NN0 )
28	20	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) e. D )
29	15	psrbagf 15163	. . . . . 6 |- ( ( F oF - X ) e. D -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 )
31		nn0re 9583	. . . . . . 7 |- ( u e. NN0 -> u e. RR )
32		nn0re 9583	. . . . . . 7 |- ( v e. NN0 -> v e. RR )
33		nn0re 9583	. . . . . . 7 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
34		letr 8414	. . . . . . 7 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ w e. RR ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
35	31, 32, 33, 34	syl3an 1320	. . . . . 6 |- ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
36	35	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) )
37	25, 27, 30, 23, 36	caoftrn 6339	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( Y oR <_ ( F oF - X ) /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) -> Y oR <_ F ) )
38	6, 21, 37	mp2and 437	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ F )
39		breq1 4134	. . . 4 |- ( y = Y -> ( y oR <_ F <-> Y oR <_ F ) )
40	39, 11	elrab2 2985	. . 3 |- ( Y e. S <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ F ) )
41	5, 38, 40	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. S )
42		breq1 4134	. . 3 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( F oF - Y ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
43	17	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
44	27	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
45	23	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
46		nn0re 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. RR )
47		nn0re 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. RR )
48		nn0re 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. RR )
49		leaddsub2 8774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
50		leaddsub 8773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
51	49, 50	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
52	46, 47, 48, 51	syl3an 1320	. . . . . . 7 |- ( ( ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 /\ ( F ` z ) e. NN0 ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
53	43, 44, 45, 52	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
54	53	ralbidva 2546	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
55	45	nn0zd 9777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
56	43	nn0zd 9777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. ZZ )
57	55, 56	zsubcld 9784	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) e. ZZ )
58	27	feqmptd 5759	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
59	17	ffnd 5537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X Fn I )
60		inidm 3440	. . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
61		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
62		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) = ( X ` z ) )
63	24, 59, 25, 25, 60, 61, 62	offval 6314	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
64	25, 44, 57, 58, 63	ofrfval2 6323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
65	44	nn0zd 9777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. ZZ )
66	55, 65	zsubcld 9784	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) e. ZZ )
67	17	feqmptd 5759	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
68	27	ffnd 5537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y Fn I )
69		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) = ( Y ` z ) )
70	24, 68, 25, 25, 60, 61, 69	offval 6314	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - Y ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
71	25, 43, 66, 67, 70	ofrfval2 6323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X oR <_ ( F oF - Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) )
72	54, 64, 71	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) )
73	6, 72	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ ( F oF - Y ) )
74	42, 14, 73	elrabd 2984	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } )
75	41, 74	jca 306	1 |- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   RRcr 8184   + caddc 8188   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  gsumbagdiagfi  15176  psrass1filem  15177