Theorem gsumbagdiagfi 15176

Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fisum0diag 12233 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumbagdiag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
gsumbagdiag.s	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )
gsumbagdiag.b	|- B = ( Base ` G )
gsumbagdiag.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumbagdiagfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
gsumbagdiag.x	|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
gsumbagdiagfi	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } |-> X ) ) )

Distinct variable groups:   x, D   y, D   f, F   x, F   y, F   f, I   f, X   x, X   y, X   B, j, k   D, j, k   j, F, k   j, G, k   y, I, f   x, I   S, j, k   ph, j, k   f, j, k, y   x, j, k

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f)   B( x, y, f)   D( f)   S( x, y, f)   G( x, y, f)   I( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiagfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiag.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		gsumbagdiag.g	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsumbagdiag.s	. . 3 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
5		gsumbagdiag.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
6		gsumbagdiagfi.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
7		gsumbagdiag.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8	7	psrbaglefifi 15172	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
9	5, 6, 8	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
10	4, 9	eqeltrid 2325	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
11	7, 4	psrbagconcl 15173	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
12	5, 11	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
13		elrabi 2979	. . . . 5 |- ( ( F oF - j ) e. { y e. D | y oR <_ F } -> ( F oF - j ) e. D )
14	13, 4	eleq2s 2333	. . . 4 |- ( ( F oF - j ) e. S -> ( F oF - j ) e. D )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D )
16	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. Fin )
17	7	psrbaglefifi 15172	. . 3 |- ( ( ( F oF - j ) e. D /\ I e. Fin ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
19		gsumbagdiag.x	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
20		xpfi 7243	. . 3 |- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin )
21	10, 10, 20	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin )
22		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S )
23	7, 4, 5	gsumbagdiaglem 15175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) )
24	23	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> k e. S )
25		brxp 4807	. . . . 5 |- ( j ( S X. S ) k <-> ( j e. S /\ k e. S ) )
26	22, 24, 25	sylanbrc 421	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) k )
27	26	pm2.24d 631	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) k -> X = ( 0g ` G ) ) )
28	27	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) k ) ) -> X = ( 0g ` G ) )
29	7, 4, 5	gsumbagdiaglem 15175	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) ) -> ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) )
30	23, 29	impbida 604	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) <-> ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) ) )
31	1, 2, 3, 10, 18, 19, 21, 28, 10, 30	gsumcom2fi 14275	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } |-> X ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  psrass1filem  15177