ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvexp2 Unicode version

Theorem dvexp2 13087
Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp2
StepHypRef Expression
1 elnn0 9092 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 dvexp 13086 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3 nnne0 8861 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43neneqd 2348 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
54iffalsed 3515 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )
65mpteq2dv 4055 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
72, 6eqtr4d 2193 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
8 oveq2 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ N )  =  ( x ^
0 ) )
9 exp0 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
108, 9sylan9eq 2210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N )  =  1 )
1110mpteq2dva 4054 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
12 fconstmpt 4633 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
1311, 12eqtr4di 2208 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } ) )
1413oveq2d 5840 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) ) )
15 ax-1cn 7825 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 dvconst 13072 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } )
1814, 17eqtrdi 2206 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
19 fconstmpt 4633 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  CC  |->  0 )
2018, 19eqtrdi 2206 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
21 iftrue 3510 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
2221mpteq2dv 4055 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
2320, 22eqtr4d 2193 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
247, 23jaoi 706 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
251, 24sylbi 120 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128   ifcif 3505   {csn 3560    |-> cmpt 4025    X. cxp 4584  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   1c1 7733    x. cmul 7737    - cmin 8046   NNcn 8833   NN0cn0 9090   ^cexp 10418    _D cdv 13035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852  ax-addf 7854  ax-mulf 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-of 6032  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-pm 6596  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-rest 12364  df-topgen 12383  df-psmet 12398  df-xmet 12399  df-met 12400  df-bl 12401  df-mopn 12402  df-top 12407  df-topon 12420  df-bases 12452  df-ntr 12507  df-cn 12599  df-cnp 12600  df-tx 12664  df-cncf 12969  df-limced 13036  df-dvap 13037
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator