Theorem dvexp2 13087

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	|- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9092	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		dvexp 13086	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3		nnne0 8861	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
4	3	neneqd 2348	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
5	4	iffalsed 3515	. . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
6	5	mpteq2dv 4055	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
7	2, 6	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
8		oveq2 5832	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( x ^ N ) = ( x ^ 0 ) )
9		exp0 10423	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
10	8, 9	sylan9eq 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ x e. CC ) -> ( x ^ N ) = 1 )
11	10	mpteq2dva 4054	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
12		fconstmpt 4633	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
13	11, 12	eqtr4di 2208	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
14	13	oveq2d 5840	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) )
15		ax-1cn 7825	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		dvconst 13072	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } )
18	14, 17	eqtrdi 2206	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
19		fconstmpt 4633	. . . . 5 |- ( CC X. { 0 } ) = ( x e. CC |-> 0 )
20	18, 19	eqtrdi 2206	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
21		iftrue 3510	. . . . 5 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2dv 4055	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
23	20, 22	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
24	7, 23	jaoi 706	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
25	1, 24	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   ifcif 3505   {csn 3560   |-> cmpt 4025   X. cxp 4584  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   1c1 7733   x. cmul 7737   - cmin 8046   NNcn 8833   NN0cn0 9090   ^cexp 10418   _D cdv 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852  ax-addf 7854  ax-mulf 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-of 6032  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-pm 6596  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-rest 12364  df-topgen 12383  df-psmet 12398  df-xmet 12399  df-met 12400  df-bl 12401  df-mopn 12402  df-top 12407  df-topon 12420  df-bases 12452  df-ntr 12507  df-cn 12599  df-cnp 12600  df-tx 12664  df-cncf 12969  df-limced 13036  df-dvap 13037

This theorem is referenced by: (None)