Theorem dvexp2 14261

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	|- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9180	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		dvexp 14260	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3		nnne0 8949	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
4	3	neneqd 2368	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
5	4	iffalsed 3546	. . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
6	5	mpteq2dv 4096	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
7	2, 6	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
8		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( x ^ N ) = ( x ^ 0 ) )
9		exp0 10526	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
10	8, 9	sylan9eq 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ x e. CC ) -> ( x ^ N ) = 1 )
11	10	mpteq2dva 4095	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
12		fconstmpt 4675	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
13	11, 12	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
14	13	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) )
15		ax-1cn 7906	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		dvconst 14246	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } )
18	14, 17	eqtrdi 2226	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
19		fconstmpt 4675	. . . . 5 |- ( CC X. { 0 } ) = ( x e. CC |-> 0 )
20	18, 19	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
21		iftrue 3541	. . . . 5 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2dv 4096	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
23	20, 22	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
24	7, 23	jaoi 716	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
25	1, 24	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3536   {csn 3594   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   - cmin 8130   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ^cexp 10521   _D cdv 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211

This theorem is referenced by: (None)