Theorem dvexp2 14069

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	|- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9176	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		dvexp 14068	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3		nnne0 8945	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
4	3	neneqd 2368	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
5	4	iffalsed 3544	. . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
6	5	mpteq2dv 4094	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
7	2, 6	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
8		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( x ^ N ) = ( x ^ 0 ) )
9		exp0 10521	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
10	8, 9	sylan9eq 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ x e. CC ) -> ( x ^ N ) = 1 )
11	10	mpteq2dva 4093	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
12		fconstmpt 4673	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
13	11, 12	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
14	13	oveq2d 5890	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) )
15		ax-1cn 7903	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		dvconst 14054	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } )
18	14, 17	eqtrdi 2226	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
19		fconstmpt 4673	. . . . 5 |- ( CC X. { 0 } ) = ( x e. CC |-> 0 )
20	18, 19	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
21		iftrue 3539	. . . . 5 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2dv 4094	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
23	20, 22	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
24	7, 23	jaoi 716	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
25	1, 24	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3534   {csn 3592   |-> cmpt 4064   X. cxp 4624  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   - cmin 8126   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ^cexp 10516   _D cdv 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932  ax-mulf 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-ntr 13489  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646  df-cncf 13951  df-limced 14018  df-dvap 14019

This theorem is referenced by: (None)