Theorem dvexp2 13470

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	|- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9137	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		dvexp 13469	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3		nnne0 8906	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
4	3	neneqd 2361	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
5	4	iffalsed 3536	. . . . 5 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
6	5	mpteq2dv 4080	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
7	2, 6	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
8		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( x ^ N ) = ( x ^ 0 ) )
9		exp0 10480	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
10	8, 9	sylan9eq 2223	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ x e. CC ) -> ( x ^ N ) = 1 )
11	10	mpteq2dva 4079	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
12		fconstmpt 4658	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
13	11, 12	eqtr4di 2221	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
14	13	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) )
15		ax-1cn 7867	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		dvconst 13455	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D ( CC X. { 1 } ) ) = ( CC X. { 0 } )
18	14, 17	eqtrdi 2219	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
19		fconstmpt 4658	. . . . 5 |- ( CC X. { 0 } ) = ( x e. CC |-> 0 )
20	18, 19	eqtrdi 2219	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
21		iftrue 3531	. . . . 5 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) = 0 )
22	21	mpteq2dv 4080	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
23	20, 22	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( N = 0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
24	7, 23	jaoi 711	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
25	1, 24	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( N = 0 , 0 , ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   ifcif 3526   {csn 3583   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   - cmin 8090   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ^cexp 10475   _D cdv 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pm 6629  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by: (None)