ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvexp2 Unicode version

Theorem dvexp2 14069
Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem dvexp2
StepHypRef Expression
1 elnn0 9176 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 dvexp 14068 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
3 nnne0 8945 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
43neneqd 2368 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
54iffalsed 3544 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( N  x.  ( x ^
( N  -  1 ) ) ) )
65mpteq2dv 4094 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
72, 6eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  (
x ^ N )  =  ( x ^
0 ) )
9 exp0 10521 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
108, 9sylan9eq 2230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N )  =  1 )
1110mpteq2dva 4093 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
12 fconstmpt 4673 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
1311, 12eqtr4di 2228 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } ) )
1413oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) ) )
15 ax-1cn 7903 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 dvconst 14054 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( CC  X.  { 1 } ) )  =  ( CC 
X.  { 0 } )
1814, 17eqtrdi 2226 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
19 fconstmpt 4673 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  CC  |->  0 )
2018, 19eqtrdi 2226 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
21 iftrue 3539 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
2221mpteq2dv 4094 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
2320, 22eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
247, 23jaoi 716 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
251, 24sylbi 121 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( N  =  0 ,  0 ,  ( N  x.  ( x ^ ( N  -  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   ifcif 3534   {csn 3592    |-> cmpt 4064    X. cxp 4624  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811    x. cmul 7815    - cmin 8126   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ^cexp 10516    _D cdv 14017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-ntr 13489  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646  df-cncf 13951  df-limced 14018  df-dvap 14019
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator