Theorem metcnp2 14692

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. The distance arguments are swapped compared to metcnp 14691 (and Munkres' metcn 14693) for compatibility with df-lm 14369. Definition 1.3-3 of [Kreyszig] p. 20. (Contributed by NM, 4-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcnp2	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, w, z, F   w, J, y, z   w, K, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z   w, C, y, z   w, D, y, z   w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 |- J = ( MetOpen ` C )
2		metcn.4	. . 3 |- K = ( MetOpen ` D )
3	1, 2	metcnp 14691	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
4		simpl1 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> C e. ( *Met ` X ) )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> C e. ( *Met ` X ) )
6		simpl3 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> P e. X )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> P e. X )
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> w e. X )
9		xmetsym 14547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ w e. X ) -> ( P C w ) = ( w C P ) )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( P C w ) = ( w C P ) )
11	10	breq1d 4040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( P C w ) < z <-> ( w C P ) < z ) )
12		simpl2 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> D e. ( *Met ` Y ) )
14		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> F : X --> Y )
15	14, 7	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
16	14, 8	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. Y )
17		xmetsym 14547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` w ) e. Y ) -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) = ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) )
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) = ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) )
19	18	breq1d 4040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y <-> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) )
20	11, 19	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) /\ w e. X ) -> ( ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) )
21	20	ralbidva 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. RR+ /\ z e. RR+ ) ) -> ( A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) )
22	21	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) )
23	22	rexbidva 2491	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) )
24	23	ralbidva 2490	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) )
25	24	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) ) )
26	3, 25	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( w C P ) < z -> ( ( F ` w ) D ( F ` P ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   < clt 8056   RR+crp 9722   *Metcxmet 14035   MetOpencmopn 14040   CnP ccnp 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cnp 14368

This theorem is referenced by:  metcnpi2  14695  cnplimclemr  14848