Theorem mulresr 8152

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8064	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		mulcnsr 8149	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
3	2	an4s 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5		00sr 8083	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7	6	oveq2i 6060	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8		m1r 8066	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
9		00sr 8083	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
11	7, 10	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
12	11	oveq2i 6060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13		mulclsr 8068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14		0idsr 8081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
16	12, 15	eqtrid 2277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17		mulcomsrg 8071	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
18	1, 17	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
19		00sr 8083	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
20	18, 19	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
21		00sr 8083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
22	20, 21	oveqan12rd 6069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
23		0idsr 8081	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
24	1, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
25	22, 24	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
26	16, 25	opeq12d 3890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
27	4, 26	eqtrd 2265	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691  (class class class)co 6049  Rcnr 7611  0_Rc0r 7612  -1_Rcm1r 7614   +_R cplr 7615   ·_R cmr 7616   · cmul 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7618  df-pli 7619  df-mi 7620  df-lti 7621  df-plpq 7658  df-mpq 7659  df-enq 7661  df-nqqs 7662  df-plqqs 7663  df-mqqs 7664  df-1nqqs 7665  df-rq 7666  df-ltnqqs 7667  df-enq0 7738  df-nq0 7739  df-0nq0 7740  df-plq0 7741  df-mq0 7742  df-inp 7780  df-i1p 7781  df-iplp 7782  df-imp 7783  df-enr 8040  df-nr 8041  df-plr 8042  df-mr 8043  df-0r 8045  df-m1r 8047  df-c 8132  df-mul 8138

This theorem is referenced by:  recidpirq  8172  axmulrcl  8181  ax1rid  8191  axprecex  8194  axpre-mulgt0  8201  axpre-mulext  8202