ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulresr GIF version

Theorem mulresr 7665
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 7577 . . 3 0RR
2 mulcnsr 7662 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
32an4s 577 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 435 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5 00sr 7596 . . . . . . . 8 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 5788 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 7579 . . . . . . 7 -1RR
9 00sr 7596 . . . . . . 7 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2160 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 5788 . . . 4 ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13 mulclsr 7581 . . . . 5 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14 0idsr 7594 . . . . 5 ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1513, 14syl 14 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1612, 15syl5eq 2184 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17 mulcomsrg 7584 . . . . . . 7 ((0RR𝐵R) → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
181, 17mpan 420 . . . . . 6 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
19 00sr 7596 . . . . . 6 (𝐵R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
2018, 19eqtrd 2172 . . . . 5 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
21 00sr 7596 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
2220, 21oveqan12rd 5797 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
23 0idsr 7594 . . . . 5 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
241, 23ax-mp 5 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2522, 24eqtrdi 2188 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
2616, 25opeq12d 3716 . 2 ((𝐴R𝐵R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
274, 26eqtrd 2172 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530  (class class class)co 5777  Rcnr 7124  0Rc0r 7125  -1Rcm1r 7127   +R cplr 7128   ·R cmr 7129   · cmul 7644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-eprel 4214  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-1o 6316  df-2o 6317  df-oadd 6320  df-omul 6321  df-er 6432  df-ec 6434  df-qs 6438  df-ni 7131  df-pli 7132  df-mi 7133  df-lti 7134  df-plpq 7171  df-mpq 7172  df-enq 7174  df-nqqs 7175  df-plqqs 7176  df-mqqs 7177  df-1nqqs 7178  df-rq 7179  df-ltnqqs 7180  df-enq0 7251  df-nq0 7252  df-0nq0 7253  df-plq0 7254  df-mq0 7255  df-inp 7293  df-i1p 7294  df-iplp 7295  df-imp 7296  df-enr 7553  df-nr 7554  df-plr 7555  df-mr 7556  df-0r 7558  df-m1r 7560  df-c 7645  df-mul 7651
This theorem is referenced by:  recidpirq  7685  axmulrcl  7694  ax1rid  7704  axprecex  7707  axpre-mulgt0  7714  axpre-mulext  7715
  Copyright terms: Public domain W3C validator