Theorem mulresr 8101

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8013	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		mulcnsr 8098	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
3	2	an4s 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5		00sr 8032	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7	6	oveq2i 6039	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8		m1r 8015	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
9		00sr 8032	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
11	7, 10	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
12	11	oveq2i 6039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13		mulclsr 8017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14		0idsr 8030	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
16	12, 15	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17		mulcomsrg 8020	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
18	1, 17	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R))
19		00sr 8032	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
20	18, 19	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
21		00sr 8032	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
22	20, 21	oveqan12rd 6048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
23		0idsr 8030	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
24	1, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
25	22, 24	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
26	16, 25	opeq12d 3875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
27	4, 26	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3676  (class class class)co 6028  Rcnr 7560  0_Rc0r 7561  -1_Rcm1r 7563   +_R cplr 7564   ·_R cmr 7565   · cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-0r 7994  df-m1r 7996  df-c 8081  df-mul 8087

This theorem is referenced by:  recidpirq  8121  axmulrcl  8130  ax1rid  8140  axprecex  8143  axpre-mulgt0  8150  axpre-mulext  8151