Theorem pwsbas 13291

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 13290	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 5607	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2209	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		scaslid 13152	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	slotex 13025	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
10		snexg 4247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ∈ V)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ∈ V)
12		xpexg 4810	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
13	9, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
14		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15		snmg 3764	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑅})
16		dmxpm 4920	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑅} → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
19	5, 8, 13, 14, 18	prdsbas 13275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)))
20		fvconst2g 5826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
21	20	fveq2d 5607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
22	21	ralrimiva 2583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
24		ixpeq2 6829	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
25	23, 24	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
26	19, 25	eqtrd 2242	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
27		basfn 13057	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
28		elex 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
29		funfvex 5620	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
30	29	funfni 5399	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
31	27, 28, 30	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	31	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) ∈ V)
33		ixpconstg 6824	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
34	9, 32, 33	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
35		pwsbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
36	35	oveq1i 5984	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)
37	34, 36	eqtr4di 2260	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
38	4, 26, 37	3eqtrrd 2247	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  Vcvv 2779  {csn 3646   × cxp 4694  dom cdm 4696   Fn wfn 5289  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Xcixp 6815  Basecbs 12998  Scalarcsca 13079  X_scprds 13264   ↑_s cpws 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289

This theorem is referenced by:  pwselbasb  13292  pwssnf1o  13297  psrgrp  14614