Theorem qtopbas 13689

Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qtopbas	⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 9619	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		ressxr 7991	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3164	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
4		qre 9614	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
5		qre 9614	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
6		xrmaxrecl 11247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
9		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
10	8, 9	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
12		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
13	11, 12	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
14		qletric 10230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		maxclpr 11215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
16	4, 5, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
17	14, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
18		elpri 3614	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
20	10, 13, 19	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
21	7, 20	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
22		xrminrecl 11265	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
23	4, 5, 22	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
25		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
26	24, 25	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
27		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
28		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
29	27, 28	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
30		minclpr 11229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	4, 5, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
32	14, 31	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
33		elpri 3614	. . . . 5 ⊢ (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
35	26, 29, 34	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
36	23, 35	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
37	3, 21, 36	qtopbasss 13688	1 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3592   class class class wbr 4000   × cxp 4621   “ cima 4626  supcsup 6975  infcinf 6976  ℝcr 7801  ℝ^*cxr 7981   < clt 7982   ≤ cle 7983  ℚcq 9608  (,)cioo 9875  TopBasesctb 13207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-ioo 9879  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-bases 13208

This theorem is referenced by:  tgqioo  13714