Theorem qtopbas 13316

Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qtopbas	⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 9589	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		ressxr 7963	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3156	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
4		qre 9584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
5		qre 9584	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
6		xrmaxrecl 11218	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
8		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
9		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
10	8, 9	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
11		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
12		simplr 525	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
13	11, 12	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
14		qletric 10200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		maxclpr 11186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
16	4, 5, 15	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
17	14, 16	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
18		elpri 3606	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
20	10, 13, 19	mpjaodan 793	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
21	7, 20	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
22		xrminrecl 11236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
23	4, 5, 22	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
24		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
25		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
26	24, 25	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
27		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
28		simplr 525	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
29	27, 28	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
30		minclpr 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	4, 5, 30	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
32	14, 31	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
33		elpri 3606	. . . . 5 ⊢ (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
35	26, 29, 34	mpjaodan 793	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
36	23, 35	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
37	3, 21, 36	qtopbasss 13315	1 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cpr 3584   class class class wbr 3989   × cxp 4609   “ cima 4614  supcsup 6959  infcinf 6960  ℝcr 7773  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℚcq 9578  (,)cioo 9845  TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  tgqioo  13341