Theorem qtopbas 15606

Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qtopbas	⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 10013	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		ressxr 8363	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3257	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
4		qre 10008	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
5		qre 10008	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
6		xrmaxrecl 12004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
9		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
10	8, 9	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
12		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
13	11, 12	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
14		qletric 10659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		maxclpr 11971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
16	4, 5, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
17	14, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
18		elpri 3731	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
20	10, 13, 19	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
21	7, 20	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
22		xrminrecl 12022	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
23	4, 5, 22	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
25		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
26	24, 25	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
27		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
28		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
29	27, 28	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
30		minclpr 11986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	4, 5, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
32	14, 31	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
33		elpri 3731	. . . . 5 ⊢ (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
35	26, 29, 34	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
36	23, 35	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
37	3, 21, 36	qtopbasss 15605	1 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3709   class class class wbr 4128   × cxp 4770   “ cima 4775  supcsup 7316  infcinf 7317  ℝcr 8172  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℚcq 10002  (,)cioo 10273  TopBasesctb 15126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-ioo 10277  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-bases 15127

This theorem is referenced by:  tgqioo  15639