Theorem qtopbas 14061

Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qtopbas	⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 9632	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		ressxr 8003	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3166	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
4		qre 9627	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
5		qre 9627	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
6		xrmaxrecl 11265	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
9		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
10	8, 9	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
12		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
13	11, 12	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
14		qletric 10246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		maxclpr 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
16	4, 5, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
17	14, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
18		elpri 3617	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
20	10, 13, 19	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
21	7, 20	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
22		xrminrecl 11283	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
23	4, 5, 22	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
25		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
26	24, 25	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
27		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
28		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
29	27, 28	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
30		minclpr 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	4, 5, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
32	14, 31	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
33		elpri 3617	. . . . 5 ⊢ (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
35	26, 29, 34	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
36	23, 35	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
37	3, 21, 36	qtopbasss 14060	1 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3595   class class class wbr 4005   × cxp 4626   “ cima 4631  supcsup 6983  infcinf 6984  ℝcr 7812  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℚcq 9621  (,)cioo 9890  TopBasesctb 13581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-ioo 9894  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-bases 13582

This theorem is referenced by:  tgqioo  14086