Theorem qtopbas 15313

Description: The set of open intervals with rational endpoints forms a basis for a topology. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qtopbas	⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Proof of Theorem qtopbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 9907	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		ressxr 8266	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3237	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
4		qre 9902	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
5		qre 9902	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
6		xrmaxrecl 11876	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
9		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
10	8, 9	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
12		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
13	11, 12	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
14		qletric 10545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
15		maxclpr 11843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
16	4, 5, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
17	14, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
18		elpri 3696	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
20	10, 13, 19	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
21	7, 20	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
22		xrminrecl 11894	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
23	4, 5, 22	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ))
24		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥)
25		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℚ)
26	24, 25	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
27		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦)
28		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℚ)
29	27, 28	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
30		minclpr 11858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
31	4, 5, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
32	14, 31	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦})
33		elpri 3696	. . . . 5 ⊢ (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ {𝑥, 𝑦} → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑥 ∨ inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) = 𝑦))
35	26, 29, 34	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ, < ) ∈ ℚ)
36	23, 35	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ ℚ)
37	3, 21, 36	qtopbasss 15312	1 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cpr 3674   class class class wbr 4093   × cxp 4729   “ cima 4734  supcsup 7224  infcinf 7225  ℝcr 8074  ℝ^*cxr 8256   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℚcq 9896  (,)cioo 10166  TopBasesctb 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-ioo 10170  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-bases 14834

This theorem is referenced by:  tgqioo  15346