Theorem reefcl 12358

Description: The exponential function is real if its argument is real. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reefcl	|- ( A e. RR -> ( exp ` A ) e. RR )

Proof of Theorem reefcl

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8262	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		efval 12351	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> ( exp ` A ) = sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
4		nn0uz 9892	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
5		0zd 9591	. . 3 |- ( A e. RR -> 0 e. ZZ )
6		eqid 2234	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
7	6	eftvalcn 12347	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
8	1, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
9		reeftcl 12345	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
10	6	efcllem 12349	. . . 4 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
11	1, 10	syl 14	. . 3 |- ( A e. RR -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
12	4, 5, 8, 9, 11	isumrecl 12119	. 2 |- ( A e. RR -> sum_ k e. NN0 ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
13	3, 12	eqeltrd 2311	1 |- ( A e. RR -> ( exp ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   |-> cmpt 4173   dom cdm 4751   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   + caddc 8132   / cdiv 8948   NN0cn0 9498   seqcseq 10813   ^cexp 10904   !cfa 11091   ~~> cli 11967   sum_csu 12042   expce 12332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-ico 10230  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338

This theorem is referenced by:  reefcld  12359  ere  12360  efgt0  12374  rpefcl  12375  reef11  12389  reeff1olem  15653  efle  15658  reapef  15660