ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reefcl Unicode version

Theorem reefcl 11711
Description: The exponential function is real if its argument is real. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
reefcl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem reefcl
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recn 7975 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 efval 11704 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
4 nn0uz 9594 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5 0zd 9296 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  ZZ )
6 eqid 2189 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76eftvalcn 11700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
81, 7sylan 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
9 reeftcl 11698 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  RR )
106efcllem 11702 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
111, 10syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
124, 5, 8, 9, 11isumrecl 11472 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  RR )
133, 12eqeltrd 2266 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160    |-> cmpt 4079   dom cdm 4644   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842    + caddc 7845    / cdiv 8660   NN0cn0 9207    seqcseq 10478   ^cexp 10553   !cfa 10740    ~~> cli 11321   sum_csu 11396   expce 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691
This theorem is referenced by:  reefcld  11712  ere  11713  efgt0  11727  rpefcl  11728  reef11  11742  reeff1olem  14669  efle  14674  reapef  14676
  Copyright terms: Public domain W3C validator