Theorem efgt0 11563

Description: The exponential of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt0	|- ( A e. RR -> 0 < ( exp ` A ) )

Proof of Theorem efgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefcl 11547	. 2 |- ( A e. RR -> ( exp ` A ) e. RR )
2		rehalfcl 9043	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	2	reefcld 11548	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( A / 2 ) ) e. RR )
4	3	sqge0d 10560	. . 3 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( ( exp ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) )
5	2	recnd 7889	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. CC )
6		2z 9178	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
7		efexp 11561	. . . . 5 |- ( ( ( A / 2 ) e. CC /\ 2 e. ZZ ) -> ( exp ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) )
8	5, 6, 7	sylancl 410	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) )
9		recn 7848	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
10		2cnd 8889	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> 2 e. CC )
11		2ap0 8909	. . . . . . 7 |- 2 # 0
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> 2 # 0 )
13	9, 10, 12	divcanap2d 8648	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 2 x. ( A / 2 ) ) = A )
14	13	fveq2d 5469	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( 2 x. ( A / 2 ) ) ) = ( exp ` A ) )
15	8, 14	eqtr3d 2192	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( exp ` ( A / 2 ) ) ^ 2 ) = ( exp ` A ) )
16	4, 15	breqtrd 3990	. 2 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( exp ` A ) )
17		efap0 11556	. . 3 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) # 0 )
18	9, 17	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> ( exp ` A ) # 0 )
19	1, 16, 18	ap0gt0d 8499	1 |- ( A e. RR -> 0 < ( exp ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   CCcc 7713   RRcr 7714   0cc0 7715   x. cmul 7720   < clt 7895   <_ cle 7896   # cap 8439   / cdiv 8528   2c2 8867   ZZcz 9150   ^cexp 10400   expce 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-sup 6920  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-fac 10582  df-bc 10604  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-ef 11527

This theorem is referenced by:  rpefcl  11564  efltim  11577  absef  11648  efieq1re  11650