Theorem reef11 12416

Description: The exponential function on real numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
reef11	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( exp ` A ) = ( exp ` B ) <-> A = B ) )

Proof of Theorem reef11

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1402	. . 3 |- T.
2		fveq2 5677	. . . 4 |- ( x = y -> ( exp ` x ) = ( exp ` y ) )
3		fveq2 5677	. . . 4 |- ( x = A -> ( exp ` x ) = ( exp ` A ) )
4		fveq2 5677	. . . 4 |- ( x = B -> ( exp ` x ) = ( exp ` B ) )
5		ssid 3262	. . . 4 |- RR C_ RR
6		reefcl 12385	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( exp ` x ) e. RR )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
8		efltim 12415	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y -> ( exp ` x ) < ( exp ` y ) ) )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x < y -> ( exp ` x ) < ( exp ` y ) ) )
10	2, 3, 4, 5, 7, 9	eqord1 8777	. . 3 |- ( ( T. /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( A = B <-> ( exp ` A ) = ( exp ` B ) ) )
11	1, 10	mpan 424	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( exp ` A ) = ( exp ` B ) ) )
12	11	bicomd 141	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( exp ` A ) = ( exp ` B ) <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   ` cfv 5359   RRcr 8144   < clt 8326   expce 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-disj 4092  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-sup 7290  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-ico 10251  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-fac 11118  df-bc 11140  df-ihash 11169  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070  df-ef 12365

This theorem is referenced by:  reeff1  12417  absefib  12488  efieq1re  12489  iooref1o  16960