ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efval Unicode version

Theorem efval 11391
Description: Value of the exponential function. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
efval  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem efval
Dummy variables  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9379 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 9085 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
3 eqid 2139 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  |->  ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )  =  ( j  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
43eftvalcn 11387 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) ) ) `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
5 eftcl 11384 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
63efcllem 11389 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( j  e.  NN0  |->  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
71, 2, 4, 5, 6isumcl 11218 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
8 oveq1 5784 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x ^ k )  =  ( A ^
k ) )
98oveq1d 5792 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
109sumeq2sdv 11163 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( x ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
11 df-ef 11378 . . 3  |-  exp  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  NN0  (
( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
1210, 11fvmptg 5500 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  sum_ k  e.  NN0  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  A
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
137, 12mpdan 417 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480    |-> cmpt 3992   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   CCcc 7637   0cc0 7639    / cdiv 8451   NN0cn0 8996   ^cexp 10316   !cfa 10495   sum_csu 11146   expce 11372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-er 6432  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-ico 9700  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-fac 10496  df-ihash 10546  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-clim 11072  df-sumdc 11147  df-ef 11378
This theorem is referenced by:  esum  11392  efval2  11395  efcvg  11396  reefcl  11398  efaddlem  11404  eflegeo  11431
  Copyright terms: Public domain W3C validator