ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpexp1i Unicode version

Theorem rpexp1i 12168
Description: Relative primality passes to asymmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp1i  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( A ^ M )  gcd  B
)  =  1 ) )

Proof of Theorem rpexp1i
StepHypRef Expression
1 elnn0 9192 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 rpexp 12167 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( ( A ^ M )  gcd  B
)  =  1  <->  ( A  gcd  B )  =  1 ) )
32biimprd 158 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( A ^ M )  gcd  B
)  =  1 ) )
433expa 1204 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  1  ->  ( ( A ^ M )  gcd 
B )  =  1 ) )
5 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  M  = 
0 )
65oveq2d 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( A ^ M )  =  ( A ^ 0 ) )
7 zcn 9272 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
87ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  A  e.  CC )
98exp0d 10662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
106, 9eqtrd 2220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( A ^ M )  =  1 )
1110oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( ( A ^ M )  gcd 
B )  =  ( 1  gcd  B ) )
12 1gcd 12007 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  B )  =  1 )
1312ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( 1  gcd  B )  =  1 )
1411, 13eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( ( A ^ M )  gcd 
B )  =  1 )
1514a1d 22 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  1  ->  ( ( A ^ M )  gcd 
B )  =  1 ) )
164, 15jaodan 798 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  =  1  -> 
( ( A ^ M )  gcd  B
)  =  1 ) )
171, 16sylan2b 287 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( A  gcd  B )  =  1  ->  ( ( A ^ M )  gcd 
B )  =  1 ) )
18173impa 1195 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( A  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( A ^ M )  gcd  B
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   1c1 7826   NNcn 8933   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ^cexp 10533    gcd cgcd 11957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-en 6755  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122
This theorem is referenced by:  rpexp12i  12169  2logb9irr  14685  2logb9irrap  14691
  Copyright terms: Public domain W3C validator