clwwlkext2edg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem clwwlkext2edg 16580

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	Vtx
clwwlkext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkext2edg	Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Proof of Theorem clwwlkext2edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16570	. . 3 ++ ClWWalksN
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 Vtx
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 Edg
4	2, 3	isclwwlknx 16574	. . . 4 ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++
5		ige2m2fzo 10597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6	5	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^
8		oveq1 6085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯ ++ ♯ ++
9	8	oveq2d 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
10	9	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++
13		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
14		fvoveq1 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
15	13, 14	preq12d 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++ ++ ++
16	15	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++
17	16	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ..^♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
19		wrdlenccats1lenm1g 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ ♯ ++ ♯
20	19	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ ♯ ♯ ++
21	20, 8	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ♯ ++ ♯
23	22	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
24		eluzelcn 9915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		1cnd 8335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26	24, 25, 25	subsub4d 8661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27		1p1e2 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	oveq2d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	26, 29	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
32		oveq1 6085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯ ♯
33	32	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ♯ ♯
34	31, 33	sylan9eq 2291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
38	37	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
39		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
40		s1cl 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
41	40	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
43		eluz2 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
44		zre 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
45		1red 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
46		2re 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
49		1lt2 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
53		1red 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
55	53, 54	posdifd 8853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61	60	3imp 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63	62	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯
64		breq2 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ♯ ♯
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
67		wrdfin 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
68		fihashneq0 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ♯
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ♯
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ ♯
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ ♯
73	72	3adantl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
74	39, 42, 73	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
78		ccatval1lsw 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++ ♯ lastS
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯ lastS
80	38, 79	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ lastS
81		2m1e1 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83	82	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	83	oveq2d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85		2cnd 9359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
86	24, 85, 25	subsubd 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	84, 86	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
89		eqeq2 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ♯ ♯
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
93	92	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$
95	94	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ Word $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$
97		ccatws1ls 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ ++ ♯
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯
99	93, 98	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++
100	80, 99	preq12d 3795	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
101	100	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ..^♯ ++ ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
105	104	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$
108		lswccats1 11392	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ lastS ++
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++
110	62	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
114		ccatfv0 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ♯ ++
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++
116	109, 115	preq12d 3795	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ lastS ++ ++
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
120	119	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
122	121	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
123	122	impl 380	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
125	124	ex 115	. . . 4 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
128	127	impcom 125	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wral 2528

c0 3520

cpr 3709 class class class wbr 4128

cfv 5375 (class class class)co 6078

cfn 7015

cr 8171

cc0 8172

c1 8173

caddc 8175

clt 8353

cle 8354

cmin 8490

cn 9286

c2 9337

cz 9626

cuz 9903 ..^cfzo 10530 ♯chash 11195 Word cword 11285 lastSclsw 11330 ++ cconcat 11339

cs1 11364 Vtxcvtx 16170 Edgcedg 16215 ClWWalksN cclwwlkn 16561

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8263 ax-resscn 8264 ax-1cn 8265 ax-1re 8266 ax-icn 8267 ax-addcl 8268 ax-addrcl 8269 ax-mulcl 8270 ax-mulrcl 8271 ax-addcom 8272 ax-mulcom 8273 ax-addass 8274 ax-mulass 8275 ax-distr 8276 ax-i2m1 8277 ax-0lt1 8278 ax-1rid 8279 ax-0id 8280 ax-rnegex 8281 ax-precex 8282 ax-cnre 8283 ax-pre-ltirr 8284 ax-pre-ltwlin 8285 ax-pre-lttrn 8286 ax-pre-apti 8287 ax-pre-ltadd 8288 ax-pre-mulgt0 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6031 df-ov 6081 df-oprab 6082 df-mpo 6083 df-1st 6367 df-2nd 6368 df-recs 6569 df-frec 6655 df-1o 6680 df-er 6800 df-map 6917 df-en 7016 df-dom 7017 df-fin 7018 df-pnf 8355 df-mnf 8356 df-xr 8357 df-ltxr 8358 df-le 8359 df-sub 8492 df-neg 8493 df-reap 8896 df-ap 8903 df-inn 9287 df-2 9345 df-n0 9546 df-z 9627 df-uz 9904 df-fz 10394 df-fzo 10531 df-ihash 11196 df-word 11286 df-lsw 11331 df-concat 11340 df-s1 11365 df-ndx 13336 df-slot 13337 df-base 13339 df-vtx 16172 df-clwwlk 16550 df-clwwlkn 16562

This theorem is referenced by: (None)

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