clwwlkext2edg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem clwwlkext2edg 16543

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	Vtx
clwwlkext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkext2edg	Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Proof of Theorem clwwlkext2edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16533	. . 3 ++ ClWWalksN
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 Vtx
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 Edg
4	2, 3	isclwwlknx 16537	. . . 4 ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++
5		ige2m2fzo 10565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6	5	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^
8		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯ ++ ♯ ++
9	8	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
10	9	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . . . 14 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++
13		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
14		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
15	13, 14	preq12d 3781	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++ ++ ++
16	15	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++
17	16	rspcv 2919	. . . . . . . . . . . 12 ..^♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
19		wrdlenccats1lenm1g 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ ♯ ++ ♯
20	19	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ ♯ ♯ ++
21	20, 8	sylan9eq 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ♯ ++ ♯
23	22	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
24		eluzelcn 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26	24, 25, 25	subsub4d 8631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27		1p1e2 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	26, 29	eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
32		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯ ♯
33	32	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ♯ ♯
34	31, 33	sylan9eq 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
38	37	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
39		simpl1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
40		s1cl 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
41	40	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
43		eluz2 9877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
44		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
45		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
46		2re 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
49		1lt2 9424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
53		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
55	53, 54	posdifd 8823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61	60	3imp 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯
64		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ♯ ♯
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
67		wrdfin 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
68		fihashneq0 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ♯
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ♯
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ ♯
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ ♯
73	72	3adantl2 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
74	39, 42, 73	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
78		ccatval1lsw 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++ ♯ lastS
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯ lastS
80	38, 79	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ lastS
81		2m1e1 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83	82	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	83	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85		2cnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
86	24, 85, 25	subsubd 8628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	84, 86	eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
89		eqeq2 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ♯ ♯
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
93	92	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$
95	94	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ Word $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$
97		ccatws1ls 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ ++ ♯
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯
99	93, 98	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++
100	80, 99	preq12d 3781	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
101	100	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ..^♯ ++ ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
105	104	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$
108		lswccats1 11356	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ lastS ++
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++
110	62	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
114		ccatfv0 11316	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ♯ ++
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++
116	109, 115	preq12d 3781	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ lastS ++ ++
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
120	119	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
122	121	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
123	122	impl 380	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
125	124	ex 115	. . . 4 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
128	127	impcom 125	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

wne 2414

wral 2522

c0 3512

cpr 3695 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cfn 6988

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

clt 8324

cle 8325

cmin 8460

cn 9254

c2 9305

cz 9594

cuz 9871 ..^cfzo 10498 ♯chash 11163 Word cword 11249 lastSclsw 11294 ++ cconcat 11303

cs1 11328 Vtxcvtx 16133 Edgcedg 16178 ClWWalksN cclwwlkn 16524

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-1o 6660 df-er 6780 df-map 6897 df-en 6989 df-dom 6990 df-fin 6991 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-inn 9255 df-2 9313 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-fz 10362 df-fzo 10499 df-ihash 11164 df-word 11250 df-lsw 11295 df-concat 11304 df-s1 11329 df-ndx 13299 df-slot 13300 df-base 13302 df-vtx 16135 df-clwwlk 16513 df-clwwlkn 16525

This theorem is referenced by: (None)

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