clwwlkext2edg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem clwwlkext2edg 16164

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	Vtx
clwwlkext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkext2edg	Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Proof of Theorem clwwlkext2edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16155	. . 3 ++ ClWWalksN
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 Vtx
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 Edg
4	2, 3	isclwwlknx 16158	. . . 4 ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++
5		ige2m2fzo 10416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6	5	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^
8		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯ ++ ♯ ++
9	8	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
10	9	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . . . 14 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++
13		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
14		fvoveq1 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
15	13, 14	preq12d 3751	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++ ++ ++
16	15	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++
17	16	rspcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ..^♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
19		wrdlenccats1lenm1g 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ ♯ ++ ♯
20	19	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ ♯ ♯ ++
21	20, 8	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ♯ ++ ♯
23	22	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
24		eluzelcn 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		1cnd 8173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26	24, 25, 25	subsub4d 8499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27		1p1e2 9238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	26, 29	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
32		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯ ♯
33	32	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ♯ ♯
34	31, 33	sylan9eq 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
38	37	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
39		simpl1 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
40		s1cl 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
41	40	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
43		eluz2 9739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
44		zre 9461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
45		1red 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
46		2re 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
49		1lt2 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
53		1red 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
55	53, 54	posdifd 8690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61	60	3imp 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯
64		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ♯ ♯
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
67		wrdfin 11103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
68		fihashneq0 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ♯
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ♯
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ ♯
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ ♯
73	72	3adantl2 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
74	39, 42, 73	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
78		ccatval1lsw 11152	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++ ♯ lastS
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯ lastS
80	38, 79	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ lastS
81		2m1e1 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83	82	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	83	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85		2cnd 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
86	24, 85, 25	subsubd 8496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	84, 86	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
89		eqeq2 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ♯ ♯
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
93	92	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$
95	94	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ Word $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$
97		ccatws1ls 11189	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ ++ ♯
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯
99	93, 98	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++
100	80, 99	preq12d 3751	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
101	100	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ..^♯ ++ ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
105	104	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$
108		lswccats1 11190	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ lastS ++
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++
110	62	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
114		ccatfv0 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ♯ ++
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++
116	109, 115	preq12d 3751	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ lastS ++ ++
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
120	119	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
122	121	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
123	122	impl 380	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
125	124	ex 115	. . . 4 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
128	127	impcom 125	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wral 2508

c0 3491

cpr 3667 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007

cfn 6895

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

clt 8192

cle 8193

cmin 8328

cn 9121

c2 9172

cz 9457

cuz 9733 ..^cfzo 10350 ♯chash 11009 Word cword 11084 lastSclsw 11129 ++ cconcat 11138

cs1 11163 Vtxcvtx 15829 Edgcedg 15874 ClWWalksN cclwwlkn 16146

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-1o 6568 df-er 6688 df-map 6805 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-inn 9122 df-2 9180 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-ihash 11010 df-word 11085 df-lsw 11130 df-concat 11139 df-s1 11164 df-ndx 13051 df-slot 13052 df-base 13054 df-vtx 15831 df-clwwlk 16135 df-clwwlkn 16147

This theorem is referenced by: (None)

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