clwwlkext2edg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem clwwlkext2edg 16275

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	Vtx
clwwlkext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkext2edg	Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Proof of Theorem clwwlkext2edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 16265	. . 3 ++ ClWWalksN
2		clwwlkext2edg.v	. . . . 5 Vtx
3		clwwlkext2edg.e	. . . . 5 Edg
4	2, 3	isclwwlknx 16269	. . . 4 ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++
5		ige2m2fzo 10443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6	5	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^
8		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯ ++ ♯ ++
9	8	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
10	9	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ..^
12	7, 11	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++
13		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
14		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
15	13, 14	preq12d 3756	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++ ++ ++
16	15	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++
17	16	rspcv 2906	. . . . . . . . . . . 12 ..^♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
18	12, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ ++ ++
19		wrdlenccats1lenm1g 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ ♯ ++ ♯
20	19	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ ♯ ♯ ++
21	20, 8	sylan9eq 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
22	21	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ♯ ++ ♯
23	22	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
24		eluzelcn 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25		1cnd 8195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26	24, 25, 25	subsub4d 8521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27		1p1e2 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	26, 29	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
32		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯ ♯
33	32	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ♯ ♯
34	31, 33	sylan9eq 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
36	23, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
37	36	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
38	37	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
39		simpl1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
40		s1cl 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
41	40	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word
43		eluz2 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
44		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
45		1red 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
46		2re 9213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
49		1lt2 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
50	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
52	45, 47, 48, 50, 51	ltletrd 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
53		1red 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
54		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
55	53, 54	posdifd 8712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59	44, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61	60	3imp 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	43, 61	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯
64		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ♯ ♯
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
66	63, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
67		wrdfin 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word
68		fihashneq0 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ♯
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ♯
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ ♯
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
72	66, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ ♯
73	72	3adantl2 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
74	39, 42, 73	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
75	74	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$ Word $/\$
76	23, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ Word $/\$
78		ccatval1lsw 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++ ♯ lastS
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯ lastS
80	38, 79	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ lastS
81		2m1e1 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	81	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83	82	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	83	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85		2cnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
86	24, 85, 25	subsubd 8518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	84, 86	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
89		eqeq2 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ♯ ♯
90	88, 89	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ♯ ♯
91	23, 90	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
92	91	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ♯
93	92	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ ♯
94		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$
95	94	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ Word $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ Word $/\$
97		ccatws1ls 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ ++ ♯
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ♯
99	93, 98	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++
100	80, 99	preq12d 3756	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
101	100	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ++ ++ lastS
102	18, 101	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
103	102	ex 115	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ ..^♯ ++ ++ ++ lastS
104	103	com13 80	. . . . . . . 8 ..^♯ ++ ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
105	104	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
106	105	imp31 256	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS
107	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ Word $/\$
108		lswccats1 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ lastS ++
109	107, 108	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++
110	62	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯
112	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
113	111, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ♯
114		ccatfv0 11180	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ♯ ++
115	39, 42, 113, 114	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ ++
116	109, 115	preq12d 3756	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ ♯ lastS ++ ++
118	23, 117	syld 45	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ♯ ++ lastS ++ ++
119	118	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
120	119	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
121	120	biimpcd 159	. . . . . . . 8 lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
122	121	3ad2ant3 1046	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
123	122	impl 380	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
124	106, 123	jca 306	. . . . 5 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
125	124	ex 115	. . . 4 ++ Word $/\$ ..^♯ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ♯ ++ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
126	4, 125	biimtrdi 163	. . 3 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
127	1, 126	mpcom 36	. 2 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
128	127	impcom 125	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wral 2510

c0 3494

cpr 3670 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cfn 6909

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

clt 8214

cle 8215

cmin 8350

cn 9143

c2 9194

cz 9479

cuz 9755 ..^cfzo 10377 ♯chash 11037 Word cword 11113 lastSclsw 11158 ++ cconcat 11167

cs1 11192 Vtxcvtx 15865 Edgcedg 15910 ClWWalksN cclwwlkn 16256

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-er 6702 df-map 6819 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-inn 9144 df-2 9202 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-ihash 11038 df-word 11114 df-lsw 11159 df-concat 11168 df-s1 11193 df-ndx 13086 df-slot 13087 df-base 13089 df-vtx 15867 df-clwwlk 16245 df-clwwlkn 16257

This theorem is referenced by: (None)

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