Theorem wrdfin 11345

Description: A word is a finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdfin	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

Proof of Theorem wrdfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11341	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2		0z 9665	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		lencl 11330	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9777	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzofig 10890	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7		fnfi 7256	. 2 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin) → 𝑊 ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 415	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7028  0cc0 8186  ℤcz 9654  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327

This theorem is used by:  lennncl  11346  wrdlenge1n0  11360  lswex  11378  lswlgt0cl  11379  ccatcl  11383  ccatlen  11385  ccat0  11386  ccatval1  11387  ccatval2  11388  ccatvalfn  11391  ccatalpha  11403  ccat1st1st  11431  swrdlsw  11463  pfxtrcfv  11487  pfxsuff1eqwrdeq  11493  pfxlswccat  11507  ccats1pfxeq  11508  ccats1pfxeqrex  11509  wrdeqs1cat  11514  wrdind  11516  wrd2ind  11517  swrdccat3blem  11533  gzsumwsubmcl  13860  gzsumwmhm  13862  vdegp1aid  16793  clwwlkccat  16880  umgrclwwlkge2  16881  clwwlkext2edg  16901