Theorem wrdfin 11306

Description: A word is a finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdfin	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

Proof of Theorem wrdfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11302	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2		0z 9638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		lencl 11291	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9749	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzofig 10852	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7		fnfi 7244	. 2 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin) → 𝑊 ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 415	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  0cc0 8173  ℤcz 9627  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Word cword 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288

This theorem is referenced by:  lennncl  11307  wrdlenge1n0  11321  lswex  11339  lswlgt0cl  11340  ccatcl  11344  ccatlen  11346  ccat0  11347  ccatval1  11348  ccatval2  11349  ccatvalfn  11352  ccatalpha  11364  ccat1st1st  11392  swrdlsw  11424  pfxtrcfv  11448  pfxsuff1eqwrdeq  11454  pfxlswccat  11468  ccats1pfxeq  11469  ccats1pfxeqrex  11470  wrdeqs1cat  11475  wrdind  11477  wrd2ind  11478  swrdccat3blem  11494  gzsumwsubmcl  13784  gzsumwmhm  13786  vdegp1aid  16538  clwwlkccat  16625  umgrclwwlkge2  16626  clwwlkext2edg  16646