Theorem wrdfin 11020

Description: A word is a finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdfin	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

Proof of Theorem wrdfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11016	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2		0z 9390	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		lencl 11005	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9500	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzofig 10584	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin)
7		fnfi 7045	. 2 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ Fin) → 𝑊 ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 411	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Fincfn 6834  0cc0 7932  ℤcz 9379  ..^cfzo 10271  ♯chash 10927  Word cword 11001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-ihash 10928  df-word 11002

This theorem is referenced by:  lennncl  11021  wrdlenge1n0  11034  lswex  11052  lswlgt0cl  11053  ccatcl  11057  ccatlen  11059  ccat0  11060  ccatval1  11061  ccatval2  11062  ccatvalfn  11065  ccat1st1st  11101  swrdlsw  11130  pfxtrcfv  11152  pfxsuff1eqwrdeq  11158  gsumwsubmcl  13372  gsumwmhm  13374