ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlemininf GIF version

Theorem xrlemininf 11246
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrlemininf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))

Proof of Theorem xrlemininf
StepHypRef Expression
1 xrminmax 11240 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
21breq2d 4010 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
323adant1 1015 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
4 xnegcl 9801 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
543ad2ant2 1019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6 xnegcl 9801 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
763ad2ant3 1020 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
8 xrmaxcl 11227 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
95, 7, 8syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 xnegcl 9801 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11103ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
12 xleneg 9806 . . . 4 ((sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴 ↔ -𝑒-𝑒𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
139, 11, 12syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴 ↔ -𝑒-𝑒𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
14 xnegneg 9802 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
15143ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
1615breq1d 4008 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ↔ 𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
1713, 16bitrd 188 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴𝐴 ≤ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
18 xrmaxlesup 11234 . . . 4 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴 ↔ (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 ≤ -𝑒𝐴)))
195, 7, 11, 18syl3anc 1238 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴 ↔ (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 ≤ -𝑒𝐴)))
20 xleneg 9806 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
21203adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ -𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴))
22 xleneg 9806 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ -𝑒𝐶 ≤ -𝑒𝐴))
23223adant2 1016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ -𝑒𝐶 ≤ -𝑒𝐴))
2421, 23anbi12d 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ↔ (-𝑒𝐵 ≤ -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 ≤ -𝑒𝐴)))
2519, 24bitr4d 191 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒𝐴 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
263, 17, 253bitr2d 216 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  {cpr 3590   class class class wbr 3998  supcsup 6971  infcinf 6972  *cxr 7965   < clt 7966  cle 7967  -𝑒cxne 9738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11251  bdxmet  13494  bdmet  13495
  Copyright terms: Public domain W3C validator