Theorem zrhrhmb 15067

Description: The ZRHom homomorphism is the unique ring homomorphism from ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhrhmb	|- ( R e. Ring -> ( F e. (ℤring RingHom R ) <-> F = L ) )

Proof of Theorem zrhrhmb

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	mulgrhm2 15055	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) ) } )
5		zrhval.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` R )
6	5, 1, 3	zrhval2 15064	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> L = ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) ) )
7	6	sneqd 3722	. . . 4 |- ( R e. Ring -> { L } = { ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) ) } )
8	4, 7	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { L } )
9	8	eleq2d 2308	. 2 |- ( R e. Ring -> ( F e. (ℤring RingHom R ) <-> F e. { L } ) )
10	5	zrhex 15066	. . 3 |- ( R e. Ring -> L e. _V )
11		elsn2g 3742	. . 3 |- ( L e. _V -> ( F e. { L } <-> F = L ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( F e. { L } <-> F = L ) )
13	9, 12	bitrd 188	1 |- ( R e. Ring -> ( F e. (ℤring RingHom R ) <-> F = L ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZcz 9656  ._gcmg 13982   1rcur 14370   Ringcrg 14408   RingHom crh 14567  ℤ_ringczring 15035   ZRHomczrh 15056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-cj 11630  df-abs 11788  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-unif 13514  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mhm 13826  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-mulg 13983  df-subg 14033  df-ghm 14104  df-cmn 14180  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-cring 14411  df-rhm 14569  df-subrg 14637  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-fg 14996  df-metu 14997  df-cnfld 15004  df-zring 15036  df-zrh 15059

This theorem is used by:  zrhrhm  15068  znzrh2  15091