Theorem zrhrhmb 14326

Description: The ℤRHom homomorphism is the unique ring homomorphism from ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhmb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐹 = 𝐿))

Proof of Theorem zrhrhmb

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
2		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
3		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	mulgrhm2 14314	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))})
5		zrhval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
6	5, 1, 3	zrhval2 14323	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
7	6	sneqd 3645	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐿} = {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))})
8	4, 7	eqtr4d 2240	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐿})
9	8	eleq2d 2274	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐹 ∈ {𝐿}))
10	5	zrhex 14325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ V)
11		elsn2g 3665	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ V → (𝐹 ∈ {𝐿} ↔ 𝐹 = 𝐿))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ {𝐿} ↔ 𝐹 = 𝐿))
13	9, 12	bitrd 188	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐹 = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  {csn 3632   ↦ cmpt 4104  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℤcz 9371  ._gcmg 13397  1_rcur 13663  Ringcrg 13700   RingHom crh 13854  ℤ_ringczring 14294  ℤRHomczrh 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-map 6736  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-dec 9504  df-uz 9648  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-cj 11095  df-abs 11252  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-starv 12866  df-tset 12870  df-ple 12871  df-ds 12873  df-unif 12874  df-0g 13032  df-topgen 13034  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-mhm 13233  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-mulg 13398  df-subg 13448  df-ghm 13519  df-cmn 13564  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-ring 13702  df-cring 13703  df-rhm 13856  df-subrg 13923  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-fg 14253  df-metu 14254  df-cnfld 14261  df-zring 14295  df-zrh 14318

This theorem is referenced by:  zrhrhm  14327  znzrh2  14350