Theorem 1stexg 6073

Description: Existence of the first member of a set. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1stexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem 1stexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		fo1st 6063	. . . 4 ⊢ 1st :V–onto→V
3		fofn 5355	. . . 4 ⊢ (1st :V–onto→V → 1st Fn V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1st Fn V
5		funfvex 5446	. . . 4 ⊢ ((Fun 1st ∧ 𝐴 ∈ dom 1st ) → (1st ‘𝐴) ∈ V)
6	5	funfni 5231	. . 3 ⊢ ((1st Fn V ∧ 𝐴 ∈ V) → (1st ‘𝐴) ∈ V)
7	4, 6	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (1st ‘𝐴) ∈ V)
8	1, 7	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   Fn wfn 5126  –onto→wfo 5129  ‘cfv 5131  1^st c1st 6044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139  df-1st 6046

This theorem is referenced by:  elxp7  6076  xpopth  6082  eqop  6083  2nd1st  6086  2ndrn  6089  releldm2  6091  reldm  6092  dfoprab3  6097  elopabi  6101  mpofvex  6109  dfmpo  6128  cnvf1olem  6129  cnvoprab  6139  f1od2  6140  disjxp1  6141  xpmapenlem  6751  cnref1o  9469  fsumcnv  11238  qredeu  11814  qnumval  11899  txbas  12466  txdis  12485