ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3declth GIF version

Theorem 3declth 9445
Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3decltc.a 𝐴 ∈ ℕ0
3decltc.b 𝐵 ∈ ℕ0
3decltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
3decltc.d 𝐷 ∈ ℕ0
3decltc.e 𝐸 ∈ ℕ0
3decltc.f 𝐹 ∈ ℕ0
3decltc.3 𝐴 < 𝐵
3declth.1 𝐶 ≤ 9
3declth.2 𝐸 ≤ 9
Assertion
Ref Expression
3declth 𝐴𝐶𝐸 < 𝐵𝐷𝐹

Proof of Theorem 3declth
StepHypRef Expression
1 3decltc.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 3decltc.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
31, 2deccl 9428 . 2 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4 3decltc.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 3decltc.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
64, 5deccl 9428 . 2 𝐵𝐷 ∈ ℕ0
7 3decltc.e . 2 𝐸 ∈ ℕ0
8 3decltc.f . 2 𝐹 ∈ ℕ0
9 3declth.2 . 2 𝐸 ≤ 9
10 3declth.1 . . 3 𝐶 ≤ 9
11 3decltc.3 . . 3 𝐴 < 𝐵
121, 4, 2, 5, 10, 11declth 9443 . 2 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷
133, 6, 7, 8, 9, 12declth 9443 1 𝐴𝐶𝐸 < 𝐵𝐷𝐹
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2160   class class class wbr 4018   < clt 8022  cle 8023  9c9 9007  0cn0 9206  cdc 9414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-dec 9415
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator