Theorem declth 9540

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declth.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declth.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
declth.e	⊢ 𝐶 ≤ 9
declth.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
declth	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem declth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declt.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		declt.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		declth.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		declth.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
5		declth.e	. . 3 ⊢ 𝐶 ≤ 9
6	3, 5	le9lt10 9537	. 2 ⊢ 𝐶 < ;10
7		declth.l	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	decltc 9539	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047   < clt 8114   ≤ cle 8115  9c9 9101  ℕ₀cn0 9302  ;cdc 9511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512

This theorem is referenced by:  3declth  9542  decleh  9545