Theorem asclf 15133

Description: The algebra scalar lifting function is a function into the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
asclf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclf	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Proof of Theorem asclf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
4		asclf.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
5		asclf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	5, 6	ringidcl 14432	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
10		asclf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		asclf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13	5, 10, 11, 12	lmodvscl 14750	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
14	2, 3, 9, 13	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
15		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
16	15, 10, 12, 11, 6	asclfval 15130	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
17	14, 16	fmptd 5865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  Scalarcsca 13493   ·_𝑠 cvsca 13494  1_rcur 14369  Ringcrg 14407  LModclmod 14732  algSccascl 15107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-ascl 15110

This theorem is used by:  asclghm  15134  asclelbas  15135  ascldimul  15140