Theorem dvds2addd 11871

Description: Deduction form of dvds2add 11867. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds2addd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvds2addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvds2addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvds2addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvds2addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvds2addd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dvds2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds2addd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvds2addd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
3		dvds2addd.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvds2addd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvds2addd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvds2add 11867	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   + caddc 7845  ℤcz 9284   ∥ cdvds 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-dvds 11830

This theorem is referenced by:  4sqlem14  12439  4sqlem16  12441  2sqlem8  14948