Theorem 4sqlem14 12598

Description: Lemma for 4sq 12604. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖   𝜑,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3	2	ssrab3 3270	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
4		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
6		4sq.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		4sq.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
8		4sq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		4sq.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
10	5, 6, 7, 8, 9, 2, 4	4sqlem13m 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 < 𝑃))
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇)
12		1zzd 9370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℤ)
13		nnuz 9654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	13	rabeqi 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
15	2, 14	eqtri 2217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 𝑗 ∈ 𝑇)
17		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ)
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
19		prmnn 12303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
20	8, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
22	18, 21	nnmulcld 9056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0)
24	5	4sqlemsdc 12594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0 → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
26	12, 15, 16, 25	infssuzcldc 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
27	11, 26	exlimddv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
28	4, 27	eqeltrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
29	3, 28	sselid 3182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 9464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
31		prmz 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
32	8, 31	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	30, 32	zmulcld 9471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
34		4sq.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
35		4sq.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
36	34, 29, 35	4sqlem5 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
37	36	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
38		zsqcl2 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
40		4sq.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
41		4sq.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42	40, 29, 41	4sqlem5 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
43	42	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
44		zsqcl2 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
46	39, 45	nn0addcld 9323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
47	46	nn0zd 9463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
48		4sq.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
49		4sq.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
50	48, 29, 49	4sqlem5 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
51	50	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
52		zsqcl2 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
54		4sq.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55		4sq.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
56	54, 29, 55	4sqlem5 12576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
57	56	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
58		zsqcl2 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
60	53, 59	nn0addcld 9323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
61	60	nn0zd 9463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
62	47, 61	zaddcld 9469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
63	33, 62	zsubcld 9470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
64		dvdsmul1 11995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
65	30, 32, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
66		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
67	34, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
68		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
69	40, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
70	67, 69	zaddcld 9469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
71	70, 47	zsubcld 9470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
72		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
73	48, 72	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
74		zsqcl 10719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
75	54, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
76	73, 75	zaddcld 9469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
77	76, 61	zsubcld 9470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
78	39	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
79	67, 78	zsubcld 9470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
80	45	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
81	69, 80	zsubcld 9470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
82	34, 29, 35	4sqlem8 12579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
83	40, 29, 41	4sqlem8 12579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
84	30, 79, 81, 82, 83	dvds2addd 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
85	34	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
86	85	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
87	40	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
88	87	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
89	37	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
90	89	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
91	43	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
92	91	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
93	86, 88, 90, 92	addsub4d 8401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
94	84, 93	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
95	53	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
96	73, 95	zsubcld 9470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
97	59	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
98	75, 97	zsubcld 9470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
99	48, 29, 49	4sqlem8 12579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
100	54, 29, 55	4sqlem8 12579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
101	30, 96, 98, 99, 100	dvds2addd 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
102	48	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
103	102	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
104	54	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
105	104	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
106	51	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
107	106	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
108	57	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
109	108	sqcld 10780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
110	103, 105, 107, 109	addsub4d 8401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
111	101, 110	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
112	30, 71, 77, 94, 111	dvds2addd 12011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
114	113	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
115	86, 88	addcld 8063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
116	103, 105	addcld 8063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
117	90, 92	addcld 8063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
118	107, 109	addcld 8063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
119	115, 116, 117, 118	addsub4d 8401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
120	114, 119	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
121	112, 120	breqtrrd 4062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
122	30, 33, 63, 65, 121	dvds2subd 12009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
123	29	nncnd 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
124	20	nncnd 9021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
125	123, 124	mulcld 8064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
126	117, 118	addcld 8063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
127	125, 126	nncand 8359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
128	122, 127	breqtrd 4060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
129	29	nnne0d 9052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
130	46, 60	nn0addcld 9323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
131	130	nn0zd 9463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
132		dvdsval2 11972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133	30, 129, 131, 132	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
134	128, 133	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
135	130	nn0red 9320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
136	130	nn0ge0d 9322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
137	29	nnred 9020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
138	29	nngt0d 9051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
139		divge0 8917	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140	135, 136, 137, 138, 139	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
141		elnn0z 9356	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
142	134, 140, 141	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
143	1, 142	eqeltrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  {cab 2182   ≠ wne 2367  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100   mod cmo 10431  ↑cexp 10647   ∥ cdvds 11969  ℙcprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-gz 12564

This theorem is referenced by:  4sqlem17  12601