Theorem 4sqlem14 13102

Description: Lemma for 4sq 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem11.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖   𝜑,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3	2	ssrab3 3324	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
4		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
5		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
6		4sq.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		4sq.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
8		4sq.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		4sq.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
10	5, 6, 7, 8, 9, 2, 4	4sqlem13m 13101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 < 𝑃))
11	10	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑇)
12		1zzd 9604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℤ)
13		nnuz 9890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	13	rabeqi 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
15	2, 14	eqtri 2253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → 𝑗 ∈ 𝑇)
17		elfznn 10388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑗) → 𝑖 ∈ ℕ)
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
19		prmnn 12807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
20	8, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
22	18, 21	nnmulcld 9286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 9553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → (𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0)
24	5	4sqlemsdc 13098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 · 𝑃) ∈ ℕ0 → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑗)) → DECID (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆)
26	12, 15, 16, 25	infssuzcldc 10595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
27	11, 26	exlimddv 1948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
28	4, 27	eqeltrid 2319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
29	3, 28	sselid 3236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 9699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
31		prmz 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
32	8, 31	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	30, 32	zmulcld 9706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
34		4sq.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
35		4sq.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
36	34, 29, 35	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
37	36	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
38		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
40		4sq.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
41		4sq.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
42	40, 29, 41	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
43	42	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
44		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
46	39, 45	nn0addcld 9557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
47	46	nn0zd 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
48		4sq.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
49		4sq.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
50	48, 29, 49	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
51	50	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
52		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
54		4sq.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55		4sq.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
56	54, 29, 55	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
57	56	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
58		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
60	53, 59	nn0addcld 9557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
61	60	nn0zd 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
62	47, 61	zaddcld 9704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
63	33, 62	zsubcld 9705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
64		dvdsmul1 12499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
65	30, 32, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
66		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
67	34, 66	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
68		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
69	40, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
70	67, 69	zaddcld 9704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
71	70, 47	zsubcld 9705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
72		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
73	48, 72	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
74		zsqcl 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
75	54, 74	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
76	73, 75	zaddcld 9704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
77	76, 61	zsubcld 9705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
78	39	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
79	67, 78	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
80	45	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
81	69, 80	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
82	34, 29, 35	4sqlem8 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
83	40, 29, 41	4sqlem8 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
84	30, 79, 81, 82, 83	dvds2addd 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
85	34	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
86	85	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
87	40	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
88	87	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
89	37	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
90	89	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
91	43	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
92	91	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
93	86, 88, 90, 92	addsub4d 8631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
94	84, 93	breqtrrd 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
95	53	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
96	73, 95	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
97	59	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
98	75, 97	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
99	48, 29, 49	4sqlem8 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
100	54, 29, 55	4sqlem8 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
101	30, 96, 98, 99, 100	dvds2addd 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
102	48	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
103	102	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
104	54	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
105	104	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
106	51	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
107	106	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
108	57	zcnd 9701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
109	108	sqcld 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
110	103, 105, 107, 109	addsub4d 8631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
111	101, 110	breqtrrd 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
112	30, 71, 77, 94, 111	dvds2addd 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
114	113	oveq1d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
115	86, 88	addcld 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
116	103, 105	addcld 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
117	90, 92	addcld 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
118	107, 109	addcld 8293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
119	115, 116, 117, 118	addsub4d 8631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
120	114, 119	eqtrd 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
121	112, 120	breqtrrd 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
122	30, 33, 63, 65, 121	dvds2subd 12513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
123	29	nncnd 9251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
124	20	nncnd 9251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
125	123, 124	mulcld 8294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
126	117, 118	addcld 8293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
127	125, 126	nncand 8589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
128	122, 127	breqtrd 4135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
129	29	nnne0d 9282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
130	46, 60	nn0addcld 9557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
131	130	nn0zd 9698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
132		dvdsval2 12476	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133	30, 129, 131, 132	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
134	128, 133	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
135	130	nn0red 9554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
136	130	nn0ge0d 9556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
137	29	nnred 9250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
138	29	nngt0d 9281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
139		divge0 9147	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140	135, 136, 137, 138, 139	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
141		elnn0z 9590	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
142	134, 140, 141	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
143	1, 142	eqeltrid 2319	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  {cab 2218   ≠ wne 2412  ∃wrex 2521  {crab 2524   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  infcinf 7274  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342   mod cmo 10684  ↑cexp 10900   ∥ cdvds 12473  ℙcprime 12804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-gz 13068

This theorem is referenced by:  4sqlem17  13105