4sqlem16 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem16 13104

Description: Lemma for 4sq 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Distinct variable groups: 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝑆,𝑖,𝑛 𝑇,𝑖 𝜑,𝑖,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem16**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		eluz2nn 9898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
7	2, 5, 6	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
9		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14	12, 5, 13	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
15	14	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
16		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
18	17	zred 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 8303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
22	20, 5, 21	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
23	22	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
24		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
26	25	zred 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
29	27, 5, 28	4sqlem5 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
31		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
33	32	zred 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
34	26, 33	readdcld 8303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
35	5	nnred 9250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 11061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
37	36	rehalfcld 9485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 9485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
39	2, 5, 6	4sqlem7 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
40	12, 5, 13	4sqlem7 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 8837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
42	37	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
43	42	2halvesd 9484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
44	41, 43	breqtrd 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
45	20, 5, 21	4sqlem7 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
46	27, 5, 28	4sqlem7 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 8837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
48	47, 43	breqtrd 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 8837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
50	36	recnd 8302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
51	50	2halvesd 9484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
52	49, 51	breqtrd 4135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2))
53	35	recnd 8302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 11032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
55	52, 54	breqtrd 4135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))
56	19, 34	readdcld 8303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
57	5	nngt0d 9281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
58		ledivmul 9151	. . . . 5 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
60	55, 59	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀)
61	1, 60	eqbrtrid 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑀)
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → 𝑅 = 0)
63	1, 62	eqtr3id 2279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
64	56	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
65	5	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
66	64, 53, 65	diveqap0ad 9074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
68	8, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
69		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
70	15, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
71	68, 70	nn0addcld 9557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
72	71	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
74	23, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
75		zsqcl2 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
76	30, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
77	74, 76	nn0addcld 9557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79		add20 8748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
81	66, 80	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
82	81	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
83	63, 82	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
84	83	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
85	68	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
86	70	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2))
87		add20 8748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹↑2))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
89	88	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
90	84, 89	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
91	90	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0)
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
93	90	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0)
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
95	5	nnsqcld 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
96	95	nnzd 9699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
97		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
98	2, 97	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
99		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
100	12, 99	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
101		dvds2add 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
103	102	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
104	92, 94, 103	mp2and 433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
105	83	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
106	74	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2))
107	76	nn0ge0d 9556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2))
108		add20 8748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐻↑2))) → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110	109	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111	105, 110	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112	111	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0)
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2))
114	111	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0)
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2))
116		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
117	20, 116	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
118		zsqcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
119	27, 118	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
120		dvds2add 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
122	121	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
123	113, 115, 122	mp2and 433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
124	98, 100	zaddcld 9704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
125	117, 119	zaddcld 9704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
126		dvds2add 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
128	127	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
129	104, 123, 128	mp2and 433	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
130	96	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
131	124	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
132	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
133		4sqlem11.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
134		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
135		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
136		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
137		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
138		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
139		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
140		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
141	133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 140	4sqlem15 13103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
142	141	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
143	142	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0)
144	38	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
145	10	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
146	144, 145	subeq0ad 8594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
147	146	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
148	143, 147	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
149	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
150	148, 149	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℤ)
151	150, 150	zaddcld 9704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
152	132, 151	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℤ)
153	131, 152	zsubcld 9705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
154	125	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
155	154, 152	zsubcld 9705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
156	98	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
157	156, 150	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
158	100	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
159	158, 150	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
160	2, 5, 6, 143	4sqlem10 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
161	142	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)
162	12, 5, 13, 161	4sqlem10 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
163	130, 157, 159, 160, 162	dvds2addd 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
164	98	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
165	100	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
166	164, 165, 144, 144	addsub4d 8631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
167	43	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
168	166, 167	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
169	168	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
170	163, 169	breqtrd 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
171	117	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
172	171, 150	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
173	119	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
174	173, 150	zsubcld 9705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
175	141	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
176	175	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0)
177	20, 5, 21, 176	4sqlem10 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
178	175	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)
179	27, 5, 28, 178	4sqlem10 13085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
180	130, 172, 174, 177, 179	dvds2addd 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
181	117	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
182	119	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
183	181, 182, 144, 144	addsub4d 8631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
184	43	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
185	183, 184	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
186	185	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
187	180, 186	breqtrd 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
188	130, 153, 155, 170, 187	dvds2addd 12515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
189	124	zcnd 9701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
190	125	zcnd 9701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
191	189, 190, 42, 42	addsub4d 8631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
192	51	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
193	191, 192	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
194	193	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
195	188, 194	breqtrd 4135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
196	124, 125	zaddcld 9704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
197	196	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
198		dvdssubr 12525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
199	130, 197, 198	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
200	195, 199	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
201	129, 200	jaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
202	140	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
203	201, 202	breqtrrd 4137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
204	203	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
205	61, 204	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 716 = wceq 1398 ∈ wcel 2203 {cab 2218 ∃wrex 2521 {crab 2524 ⊆ wss 3211 class class class wbr 4109 ‘cfv 5352 (class class class)co 6050 infcinf 7274 ℝcr 8126 0cc0 8127 1c1 8128 + caddc 8130 · cmul 8132 < clt 8308 ≤ cle 8309 − cmin 8444 / cdiv 8946 ℕcn 9237 2c2 9288 ℕ₀cn0 9496 ℤcz 9577 ℤ_≥cuz 9853 ...cfz 10342 mod cmo 10684 ↑cexp 10900 ∥ cdvds 12473 ℙcprime 12804

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-sup 7275 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-dvds 12474 df-gcd 12650

This theorem is referenced by: 4sqlem17 13105

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