Theorem bl2ioo 13336

Description: A ball in terms of an open interval of reals. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
bl2ioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem bl2ioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	remetdval 13333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝐴 − 𝑥)))
3		recn 7907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 7907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5		abssub 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
7	2, 6	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
8	7	breq1d 3999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
9	8	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
10		absdiflt 11056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
11	10	3expb 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
12	11	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
13	9, 12	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
14	13	pm5.32da 449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))))
15		3anass 977	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	14, 15	bitr4di 197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
17		rexr 7965	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	1	rexmet 13335	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
19		elbl 13185	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
20	18, 19	mp3an1 1319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
21	17, 20	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
22		resubcl 8183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23		readdcl 7900	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
24		rexr 7965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
25		rexr 7965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*)
26		elioo2 9878	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
27	24, 25, 26	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
28	22, 23, 27	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
29	16, 21, 28	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵))))
30	29	eqrdv 2168	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   × cxp 4609   ↾ cres 4613   ∘ ccom 4615  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773   + caddc 7777  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   − cmin 8090  (,)cioo 9845  abscabs 10961  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784

This theorem is referenced by:  ioo2bl  13337  blssioo  13339  tgioo  13340