Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blininf GIF version

Theorem blininf 12771
 Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blininf (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem blininf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetcl 12699 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
213expa 1182 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
32adantlr 469 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
4 simplrl 525 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5 simplrr 526 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
6 xrltmininf 11144 . . . . 5 (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
73, 4, 5, 6syl3anc 1217 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
87pm5.32da 448 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
9 xrmincl 11140 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 elbl 12738 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
11103expa 1182 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
129, 11sylan2 284 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
13 elbl 12738 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14133expa 1182 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1514adantrr 471 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
16 elbl 12738 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
17163expa 1182 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
1817adantrl 470 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
1915, 18anbi12d 465 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
20 elin 3286 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
21 anandi 580 . . . 4 ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
2219, 20, 213bitr4g 222 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
238, 12, 223bitr4rd 220 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
2423eqrdv 2152 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ∩ cin 3097  {cpr 3557   class class class wbr 3961  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  infcinf 6915  ℝ*cxr 7890   < clt 7891  ∞Metcxmet 12327  ballcbl 12329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-map 6584  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-xneg 9657  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-psmet 12334  df-xmet 12335  df-bl 12337 This theorem is referenced by:  blin2  12779
 Copyright terms: Public domain W3C validator