Theorem blininf 15119

Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blininf	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem blininf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 15047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2	1	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3	2	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
4		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
6		xrltmininf 11802	. . . . 5 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
8	7	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
9		xrmincl 11798	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10		elbl 15086	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
11	10	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
12	9, 11	sylan2 286	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
13		elbl 15086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14	13	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
15	14	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
16		elbl 15086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
17	16	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
18	17	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
19	15, 18	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
20		elin 3387	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
21		anandi 592	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
22	19, 20, 21	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
23	8, 12, 22	3bitr4rd 221	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < ))))
24	23	eqrdv 2227	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)inf({𝑅, 𝑆}, ℝ*, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196  {cpr 3667   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  infcinf 7166  ℝ^*cxr 8196   < clt 8197  ∞Metcxmet 14521  ballcbl 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-map 6810  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-bl 14531

This theorem is referenced by:  blin2  15127