Theorem fz01or 10518

Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz01or	⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eluzge0 9974	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
2		eluzfz1 10435	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...1)
4		fzsplit 10456	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
6	5	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7		elun 3370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
8	6, 7	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9		elfz1eq 10439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10		0nn0 9578	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		nn0uz 9957	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleqtri 2313	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
13		eluzfz1 10435	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...0))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...0)
15		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
16	14, 15	mpbiri 168	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
17	9, 16	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18		0p1e1 9418	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
19	18	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...1) = (1...1)
20	19	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21		elfz1eq 10439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22		1nn 9315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		nnuz 9958	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	22, 23	eleqtri 2313	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
25		eluzfz1 10435	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...1))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...1)
27		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
28	26, 27	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
29	21, 28	impbii 126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
30	20, 29	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
31	17, 30	orbi12i 776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
32	8, 31	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  hashfiv01gt1  11221  mod2eq1n2dvds  12646