Theorem fz01or 10336

Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz01or	⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eluzge0 9798	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
2		eluzfz1 10256	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...1)
4		fzsplit 10276	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
6	5	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7		elun 3346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
8	6, 7	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9		elfz1eq 10260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10		0nn0 9407	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		nn0uz 9781	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleqtri 2304	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
13		eluzfz1 10256	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...0))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...0)
15		eleq1 2292	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
16	14, 15	mpbiri 168	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
17	9, 16	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18		0p1e1 9247	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
19	18	oveq1i 6023	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...1) = (1...1)
20	19	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21		elfz1eq 10260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22		1nn 9144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		nnuz 9782	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	22, 23	eleqtri 2304	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
25		eluzfz1 10256	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...1))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...1)
27		eleq1 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
28	26, 27	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
29	21, 28	impbii 126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
30	20, 29	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
31	17, 30	orbi12i 769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
32	8, 31	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  11034  mod2eq1n2dvds  12430