Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz01or GIF version

Theorem fz01or 9921
 Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz01or (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or
StepHypRef Expression
1 1eluzge0 9395 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
2 eluzfz1 9841 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...1)
4 fzsplit 9861 . . . . 5 (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
65eleq2i 2207 . . 3 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7 elun 3221 . . 3 (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
86, 7bitri 183 . 2 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9 elfz1eq 9845 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10 0nn0 9015 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
11 nn0uz 9383 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleqtri 2215 . . . . . 6 0 ∈ (ℤ‘0)
13 eluzfz1 9841 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...0))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...0)
15 eleq1 2203 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
1614, 15mpbiri 167 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
179, 16impbii 125 . . 3 (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18 0p1e1 8857 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1918oveq1i 5791 . . . . 5 ((0 + 1)...1) = (1...1)
2019eleq2i 2207 . . . 4 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21 elfz1eq 9845 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22 1nn 8754 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
23 nnuz 9384 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2422, 23eleqtri 2215 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘1)
25 eluzfz1 9841 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...1))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ (1...1)
27 eleq1 2203 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
2826, 27mpbiri 167 . . . . 5 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
2921, 28impbii 125 . . . 4 (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
3020, 29bitri 183 . . 3 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
3117, 30orbi12i 754 . 2 ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
328, 31bitri 183 1 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3073  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646  ℕcn 8743  ℕ0cn0 9000  ℤ≥cuz 9349  ...cfz 9820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821 This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10559  mod2eq1n2dvds  11610
 Copyright terms: Public domain W3C validator