Theorem fz01or 10203

Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz01or	⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eluzge0 9665	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
2		eluzfz1 10123	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...1)
4		fzsplit 10143	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
6	5	eleq2i 2263	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7		elun 3305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
8	6, 7	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9		elfz1eq 10127	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10		0nn0 9281	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		nn0uz 9653	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleqtri 2271	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
13		eluzfz1 10123	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...0))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0...0)
15		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
16	14, 15	mpbiri 168	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
17	9, 16	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18		0p1e1 9121	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
19	18	oveq1i 5935	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...1) = (1...1)
20	19	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21		elfz1eq 10127	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22		1nn 9018	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		nnuz 9654	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	22, 23	eleqtri 2271	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
25		eluzfz1 10123	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...1))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...1)
27		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
28	26, 27	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
29	21, 28	impbii 126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
30	20, 29	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
31	17, 30	orbi12i 765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
32	8, 31	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10891  mod2eq1n2dvds  12061