ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz01or GIF version

Theorem fz01or 10084
Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz01or (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or
StepHypRef Expression
1 1eluzge0 9550 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
2 eluzfz1 10004 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...1)
4 fzsplit 10024 . . . . 5 (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
65eleq2i 2244 . . 3 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7 elun 3276 . . 3 (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
86, 7bitri 184 . 2 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9 elfz1eq 10008 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10 0nn0 9167 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
11 nn0uz 9538 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleqtri 2252 . . . . . 6 0 ∈ (ℤ‘0)
13 eluzfz1 10004 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...0))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...0)
15 eleq1 2240 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
1614, 15mpbiri 168 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
179, 16impbii 126 . . 3 (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18 0p1e1 9009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1918oveq1i 5878 . . . . 5 ((0 + 1)...1) = (1...1)
2019eleq2i 2244 . . . 4 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21 elfz1eq 10008 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22 1nn 8906 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
23 nnuz 9539 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2422, 23eleqtri 2252 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘1)
25 eluzfz1 10004 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...1))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ (1...1)
27 eleq1 2240 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
2826, 27mpbiri 168 . . . . 5 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
2921, 28impbii 126 . . . 4 (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
3020, 29bitri 184 . . 3 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
3117, 30orbi12i 764 . 2 ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
328, 31bitri 184 1 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  cun 3127  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792  cn 8895  0cn0 9152  cuz 9504  ...cfz 9982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983
This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10733  mod2eq1n2dvds  11854
  Copyright terms: Public domain W3C validator