ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz01or GIF version

Theorem fz01or 10067
Description: An integer is in the integer range from zero to one iff it is either zero or one. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz01or (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem fz01or
StepHypRef Expression
1 1eluzge0 9533 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
2 eluzfz1 9987 . . . . . 6 (1 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...1)
4 fzsplit 10007 . . . . 5 (0 ∈ (0...1) → (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (0...1) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1))
65eleq2i 2237 . . 3 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ 𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)))
7 elun 3268 . . 3 (𝐴 ∈ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
86, 7bitri 183 . 2 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)))
9 elfz1eq 9991 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...0) → 𝐴 = 0)
10 0nn0 9150 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
11 nn0uz 9521 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleqtri 2245 . . . . . 6 0 ∈ (ℤ‘0)
13 eluzfz1 9987 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...0))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...0)
15 eleq1 2233 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 0 ∈ (0...0)))
1614, 15mpbiri 167 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ (0...0))
179, 16impbii 125 . . 3 (𝐴 ∈ (0...0) ↔ 𝐴 = 0)
18 0p1e1 8992 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1918oveq1i 5863 . . . . 5 ((0 + 1)...1) = (1...1)
2019eleq2i 2237 . . . 4 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 ∈ (1...1))
21 elfz1eq 9991 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...1) → 𝐴 = 1)
22 1nn 8889 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
23 nnuz 9522 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2422, 23eleqtri 2245 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘1)
25 eluzfz1 9987 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...1))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ (1...1)
27 eleq1 2233 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 1 ∈ (1...1)))
2826, 27mpbiri 167 . . . . 5 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ (1...1))
2921, 28impbii 125 . . . 4 (𝐴 ∈ (1...1) ↔ 𝐴 = 1)
3020, 29bitri 183 . . 3 (𝐴 ∈ ((0 + 1)...1) ↔ 𝐴 = 1)
3117, 30orbi12i 759 . 2 ((𝐴 ∈ (0...0) ∨ 𝐴 ∈ ((0 + 1)...1)) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
328, 31bitri 183 1 (𝐴 ∈ (0...1) ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wo 703   = wceq 1348  wcel 2141  cun 3119  cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777  cn 8878  0cn0 9135  cuz 9487  ...cfz 9965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966
This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10716  mod2eq1n2dvds  11838
  Copyright terms: Public domain W3C validator