Theorem 3prm 12825

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9606	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 9409	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 9933	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 10369	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		2z 9605	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		iddvds 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8		2nn 9399	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1lt2 9407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		ndvdsp1 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13		df-3 9297	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	breq2i 4117	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
15	12, 14	mtbir 678	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
16		breq1 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
17	15, 16	mtbiri 682	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
18	5, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19		3m1e2 9357	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
20	19	oveq2i 6061	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
21	18, 20	eleq2s 2327	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
22	21	rgen 2595	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23		isprm3 12815	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
24	4, 22, 23	mpbir2an 951	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   − cmin 8444  ℕcn 9237  2c2 9288  3c3 9289  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342   ∥ cdvds 12473  ℙcprime 12804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-prm 12805

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12857  2logb9irr  15836  2logb3irr  15838  2logb9irrap  15842