Theorem 3prm 12082

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9241	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 9049	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 9560	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 937	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 9991	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		2z 9240	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		iddvds 11766	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8		2nn 9039	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1lt2 9047	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		ndvdsp1 11891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1332	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13		df-3 8938	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	breq2i 3997	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
15	12, 14	mtbir 666	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
16		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
17	15, 16	mtbiri 670	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
18	5, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19		3m1e2 8998	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
20	19	oveq2i 5864	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
21	18, 20	eleq2s 2265	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
22	21	rgen 2523	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23		isprm3 12072	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
24	4, 22, 23	mpbir2an 937	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   − cmin 8090  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965   ∥ cdvds 11749  ℙcprime 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12114  2logb9irr  13683  2logb3irr  13685  2logb9irrap  13689