Theorem 3prm 12763

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9552	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 9357	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 9879	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 951	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 10315	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		2z 9551	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		iddvds 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8		2nn 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1lt2 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		ndvdsp1 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13		df-3 9245	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	breq2i 4101	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
15	12, 14	mtbir 678	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
16		breq1 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
17	15, 16	mtbiri 682	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
18	5, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19		3m1e2 9305	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
20	19	oveq2i 6039	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
21	18, 20	eleq2s 2326	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
22	21	rgen 2586	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23		isprm3 12753	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
24	4, 22, 23	mpbir2an 951	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   − cmin 8392  ℕcn 9185  2c2 9236  3c3 9237  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288   ∥ cdvds 12411  ℙcprime 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-prm 12743

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12795  2logb9irr  15765  2logb3irr  15767  2logb9irrap  15771