Theorem 3prm 12296

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9355	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 9162	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 9675	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 10110	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		2z 9354	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		iddvds 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8		2nn 9152	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1lt2 9160	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		ndvdsp1 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1348	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13		df-3 9050	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	breq2i 4041	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
15	12, 14	mtbir 672	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
16		breq1 4036	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
17	15, 16	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
18	5, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19		3m1e2 9110	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
20	19	oveq2i 5933	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
21	18, 20	eleq2s 2291	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
22	21	rgen 2550	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23		isprm3 12286	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
24	4, 22, 23	mpbir2an 944	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   − cmin 8197  ℕcn 8990  2c2 9041  3c3 9042  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083   ∥ cdvds 11952  ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  12328  2logb9irr  15207  2logb3irr  15209  2logb9irrap  15213