ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm1 GIF version

Theorem fzm1 10103
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 5885 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2247 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 10038 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 164 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 711 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 33 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 3428 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
9 eluzelz 9540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 9378 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
1211ltm1d 8892 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 147 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 9536 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18 1zzd 9283 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
1910, 18zsubcld 9383 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
20 fzn 10045 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2215, 21mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2322eleq2d 2247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
248, 23mtbiri 675 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2524pm2.21d 619 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26 eluzfz2 10035 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
28 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2928adantl 277 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
3027, 29mpbird 167 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3130ex 115 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3225, 31jaod 717 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
337, 32impbid 129 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
34 elfzp1 10075 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3534adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
369adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3736zcnd 9379 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 npcan1 8338 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3937, 38syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4039oveq2d 5894 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4140eleq2d 2247 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
4239eqeq2d 2189 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4342orbi2d 790 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
4435, 41, 433bitr3d 218 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
45 uzm1 9561 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
4633, 44, 45mpjaodan 798 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3424   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5878  cc 7812  1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995  cmin 8131  cz 9256  cuz 9531  ...cfz 10011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012
This theorem is referenced by:  bcpasc  10749  phibndlem  12219  lgsdir2lem2  14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator