ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm1 GIF version

Theorem fzm1 9892
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2209 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 9827 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 163 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 700 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 33 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 3367 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
9 eluzelz 9347 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 9185 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
1211ltm1d 8702 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 3933 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 9343 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1716adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18 1zzd 9093 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
1910, 18zsubcld 9190 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
20 fzn 9834 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2117, 19, 20syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2215, 21mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2322eleq2d 2209 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
248, 23mtbiri 664 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2524pm2.21d 608 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26 eluzfz2 9824 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
28 eleq1 2202 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2928adantl 275 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
3027, 29mpbird 166 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3130ex 114 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3225, 31jaod 706 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
337, 32impbid 128 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
34 elfzp1 9864 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3534adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
369adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3736zcnd 9186 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 npcan1 8152 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3937, 38syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4039oveq2d 5790 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4140eleq2d 2209 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
4239eqeq2d 2151 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4342orbi2d 779 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
4435, 41, 433bitr3d 217 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
45 uzm1 9368 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
4633, 44, 45mpjaodan 787 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  c0 3363   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  1c1 7633   + caddc 7635   < clt 7812  cmin 7945  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
This theorem is referenced by:  bcpasc  10524  phibndlem  11903
  Copyright terms: Public domain W3C validator