Theorem fzm1 10434

Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
2	1	eleq2d 2302	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3		elfz1eq 10369	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
4	2, 3	biimtrrdi 164	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5		olc 719	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
6	4, 5	syl6 33	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
7	6	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8		noel 3512	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅
9		eluzelz 9863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zred 9700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	ltm1d 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13		breq2 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
15	12, 14	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16		eluzel2 9858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		1zzd 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
19	10, 18	zsubcld 9705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
20		fzn 10376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
22	15, 21	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
23	22	eleq2d 2302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
24	8, 23	mtbiri 682	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
25	24	pm2.21d 624	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26		eluzfz2 10366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
27	26	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
28		eleq1 2295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
29	28	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
30	27, 29	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
31	30	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
32	25, 31	jaod 725	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
33	7, 32	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
34		elfzp1 10406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
35	34	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
36	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	36	zcnd 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		npcan1 8651	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
40	39	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
41	40	eleq2d 2302	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
42	39	eqeq2d 2244	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
43	42	orbi2d 798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
44	35, 41, 43	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
45		uzm1 9885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
46	33, 44, 45	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3508   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   − cmin 8444  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  bcpasc  11128  phibndlem  12913  lgsdir2lem2  15902