Theorem elfzuz 10435

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10433	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  elfzel1  10438  elfzelz  10439  elfzle1  10442  eluzfz2b  10448  fzsplit2  10466  fzsplit  10467  fzsplit3  10469  fzopth  10478  fzss1  10480  fzss2  10481  fzssuz  10482  fzp1elp1  10493  uzsplit  10510  elfzmlbm  10549  fzosplit  10597  infssuzex  10677  infssfzcldc  10680  infssfzledc  10681  seq3feq2  10928  seq3feq  10932  ser3mono  10939  seq3caopr3  10943  iseqf1olemkle  10949  iseqf1olemklt  10950  iseqf1olemnab  10953  iseqf1olemqk  10959  iseqf1olemjpcl  10960  iseqf1olemqpcl  10961  iseqf1olemfvp  10962  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsumk  10964  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1olemstep  10966  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  seqf1oglem2  10972  seq3z  10980  ser0  10985  ser3le  10989  seq3coll  11310  swrdval2  11439  swrdswrd  11493  pfxccatin12  11521  pfxccatpfx2  11525  climub  12129  sumrbdclem  12163  fsum3cvg  12164  fsum3ser  12183  fsump1i  12219  fsum0diaglem  12226  iserabs  12261  isumsplit  12277  isum1p  12278  geosergap  12292  mertenslemi1  12321  prodf1  12328  prodfap0  12331  prodfrecap  12332  prodfdivap  12333  prodrbdclem  12357  fproddccvg  12358  fprodntrivap  12370  fprodabs  12402  fprodeq0  12403  nninfctlemfo  12836  prmind2  12917  prmdvdsfz  12937  isprm5lem  12939  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  pcfac  13152  ballotfilemfrci  13323  birthdaylem2  16187  chtqub  16257  mersenne  16258  bposlem6  16277  lgsdilem2  16321  cvgcmp2nlemabs  17247