Theorem elfzuz 10087

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10085	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  elfzel1  10090  elfzelz  10091  elfzle1  10093  eluzfz2b  10099  fzsplit2  10116  fzsplit  10117  fzopth  10127  fzss1  10129  fzss2  10130  fzssuz  10131  fzp1elp1  10141  uzsplit  10158  elfzmlbm  10197  fzosplit  10244  seq3feq2  10547  seq3feq  10551  ser3mono  10558  seq3caopr3  10562  iseqf1olemkle  10568  iseqf1olemklt  10569  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemqk  10578  iseqf1olemjpcl  10579  iseqf1olemqpcl  10580  iseqf1olemfvp  10581  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemqsum  10584  seq3f1olemstep  10585  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  seqf1oglem2  10591  seq3z  10599  ser0  10604  ser3le  10608  seq3coll  10913  climub  11487  sumrbdclem  11520  fsum3cvg  11521  fsum3ser  11540  fsump1i  11576  fsum0diaglem  11583  iserabs  11618  isumsplit  11634  isum1p  11635  geosergap  11649  mertenslemi1  11678  prodf1  11685  prodfap0  11688  prodfrecap  11689  prodfdivap  11690  prodrbdclem  11714  fproddccvg  11715  fprodntrivap  11727  fprodabs  11759  fprodeq0  11760  infssuzex  12086  nninfctlemfo  12177  prmind2  12258  prmdvdsfz  12277  isprm5lem  12279  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  pcfac  12488  lgsdilem2  15152  cvgcmp2nlemabs  15522