Theorem elfzuz 10440

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10438	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤ_≥cuz 9936  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  elfzel1  10443  elfzelz  10444  elfzle1  10447  eluzfz2b  10453  fzsplit2  10471  fzsplit  10472  fzsplit3  10474  fzopth  10483  fzss1  10485  fzss2  10486  fzssuz  10487  fzp1elp1  10498  uzsplit  10515  elfzmlbm  10554  fzosplit  10602  infssuzex  10682  infssfzcldc  10685  infssfzledc  10686  seq3feq2  10933  seq3feq  10937  ser3mono  10944  seq3caopr3  10948  iseqf1olemkle  10954  iseqf1olemklt  10955  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemqk  10964  iseqf1olemjpcl  10965  iseqf1olemqpcl  10966  iseqf1olemfvp  10967  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemqsum  10970  seq3f1olemstep  10971  seq3f1oleml  10973  seq3f1o  10974  seqf1oglem2  10977  seq3z  10985  ser0  10990  ser3le  10994  seq3coll  11315  swrdval2  11444  swrdswrd  11498  pfxccatin12  11526  pfxccatpfx2  11530  climub  12134  sumrbdclem  12168  fsum3cvg  12169  fsum3ser  12188  fsump1i  12224  fsum0diaglem  12231  iserabs  12266  isumsplit  12282  isum1p  12283  geosergap  12297  mertenslemi1  12326  prodf1  12333  prodfap0  12336  prodfrecap  12337  prodfdivap  12338  prodrbdclem  12362  fproddccvg  12363  fprodntrivap  12375  fprodabs  12407  fprodeq0  12408  nninfctlemfo  12841  prmind2  12922  prmdvdsfz  12942  isprm5lem  12944  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  pcfac  13157  ballotfilemfrci  13328  birthdaylem2  16243  chtqub  16313  mersenne  16314  bposlem6  16333  lgsdilem2  16377  cvgcmp2nlemabs  17304