Theorem elfzuz 10318

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10316	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℤ_≥cuz 9816  ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  elfzel1  10321  elfzelz  10322  elfzle1  10324  eluzfz2b  10330  fzsplit2  10347  fzsplit  10348  fzopth  10358  fzss1  10360  fzss2  10361  fzssuz  10362  fzp1elp1  10372  uzsplit  10389  elfzmlbm  10428  fzosplit  10476  infssuzex  10556  seq3feq2  10801  seq3feq  10805  ser3mono  10812  seq3caopr3  10816  iseqf1olemkle  10822  iseqf1olemklt  10823  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemqk  10832  iseqf1olemjpcl  10833  iseqf1olemqpcl  10834  iseqf1olemfvp  10835  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1olemqsum  10838  seq3f1olemstep  10839  seq3f1oleml  10841  seq3f1o  10842  seqf1oglem2  10845  seq3z  10853  ser0  10858  ser3le  10862  seq3coll  11169  swrdval2  11298  swrdswrd  11352  pfxccatin12  11380  pfxccatpfx2  11384  climub  11984  sumrbdclem  12018  fsum3cvg  12019  fsum3ser  12038  fsump1i  12074  fsum0diaglem  12081  iserabs  12116  isumsplit  12132  isum1p  12133  geosergap  12147  mertenslemi1  12176  prodf1  12183  prodfap0  12186  prodfrecap  12187  prodfdivap  12188  prodrbdclem  12212  fproddccvg  12213  fprodntrivap  12225  fprodabs  12257  fprodeq0  12258  nninfctlemfo  12691  prmind2  12772  prmdvdsfz  12791  isprm5lem  12793  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  pcfac  13003  mersenne  15811  lgsdilem2  15855  cvgcmp2nlemabs  16764