Theorem elfzuz 10021

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10019	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  elfzel1  10024  elfzelz  10025  elfzle1  10027  eluzfz2b  10033  fzsplit2  10050  fzsplit  10051  fzopth  10061  fzss1  10063  fzss2  10064  fzssuz  10065  fzp1elp1  10075  uzsplit  10092  elfzmlbm  10131  fzosplit  10177  seq3feq2  10470  seq3feq  10472  ser3mono  10478  seq3caopr3  10481  iseqf1olemkle  10484  iseqf1olemklt  10485  iseqf1olemnab  10488  iseqf1olemqk  10494  iseqf1olemjpcl  10495  iseqf1olemqpcl  10496  iseqf1olemfvp  10497  seq3f1olemqsumkj  10498  seq3f1olemqsumk  10499  seq3f1olemqsum  10500  seq3f1olemstep  10501  seq3f1oleml  10503  seq3f1o  10504  seq3z  10511  ser0  10514  ser3le  10518  seq3coll  10822  climub  11352  sumrbdclem  11385  fsum3cvg  11386  fsum3ser  11405  fsump1i  11441  fsum0diaglem  11448  iserabs  11483  isumsplit  11499  isum1p  11500  geosergap  11514  mertenslemi1  11543  prodf1  11550  prodfap0  11553  prodfrecap  11554  prodfdivap  11555  prodrbdclem  11579  fproddccvg  11580  fprodntrivap  11592  fprodabs  11624  fprodeq0  11625  infssuzex  11950  prmind2  12120  prmdvdsfz  12139  isprm5lem  12141  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  pcfac  12348  lgsdilem2  14440  cvgcmp2nlemabs  14783