Theorem elfzuz 10424

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10422	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfzel1  10427  elfzelz  10428  elfzle1  10431  eluzfz2b  10437  fzsplit2  10455  fzsplit  10456  fzsplit3  10458  fzopth  10467  fzss1  10469  fzss2  10470  fzssuz  10471  fzp1elp1  10482  uzsplit  10499  elfzmlbm  10538  fzosplit  10586  infssuzex  10666  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  seq3feq2  10913  seq3feq  10917  ser3mono  10924  seq3caopr3  10928  iseqf1olemkle  10934  iseqf1olemklt  10935  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemqk  10944  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seqf1oglem2  10957  seq3z  10965  ser0  10970  ser3le  10974  seq3coll  11294  swrdval2  11423  swrdswrd  11477  pfxccatin12  11505  pfxccatpfx2  11509  climub  12110  sumrbdclem  12144  fsum3cvg  12145  fsum3ser  12164  fsump1i  12200  fsum0diaglem  12207  iserabs  12242  isumsplit  12258  isum1p  12259  geosergap  12273  mertenslemi1  12302  prodf1  12309  prodfap0  12312  prodfrecap  12313  prodfdivap  12314  prodrbdclem  12338  fproddccvg  12339  fprodntrivap  12351  fprodabs  12383  fprodeq0  12384  nninfctlemfo  12817  prmind2  12898  prmdvdsfz  12917  isprm5lem  12919  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  pcfac  13129  ballotfilemfrci  13271  birthdaylem2  16088  mersenne  16111  lgsdilem2  16155  cvgcmp2nlemabs  17081