Theorem elfzuz 10113

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10111	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  elfzel1  10116  elfzelz  10117  elfzle1  10119  eluzfz2b  10125  fzsplit2  10142  fzsplit  10143  fzopth  10153  fzss1  10155  fzss2  10156  fzssuz  10157  fzp1elp1  10167  uzsplit  10184  elfzmlbm  10223  fzosplit  10270  infssuzex  10340  seq3feq2  10585  seq3feq  10589  ser3mono  10596  seq3caopr3  10600  iseqf1olemkle  10606  iseqf1olemklt  10607  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemqk  10616  iseqf1olemjpcl  10617  iseqf1olemqpcl  10618  iseqf1olemfvp  10619  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1olemstep  10623  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  seqf1oglem2  10629  seq3z  10637  ser0  10642  ser3le  10646  seq3coll  10951  climub  11526  sumrbdclem  11559  fsum3cvg  11560  fsum3ser  11579  fsump1i  11615  fsum0diaglem  11622  iserabs  11657  isumsplit  11673  isum1p  11674  geosergap  11688  mertenslemi1  11717  prodf1  11724  prodfap0  11727  prodfrecap  11728  prodfdivap  11729  prodrbdclem  11753  fproddccvg  11754  fprodntrivap  11766  fprodabs  11798  fprodeq0  11799  nninfctlemfo  12232  prmind2  12313  prmdvdsfz  12332  isprm5lem  12334  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  pcfac  12544  mersenne  15317  lgsdilem2  15361  cvgcmp2nlemabs  15763