Theorem elfzuz 9977

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9975	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 272	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  elfzel1  9980  elfzelz  9981  elfzle1  9983  eluzfz2b  9989  fzsplit2  10006  fzsplit  10007  fzopth  10017  fzss1  10019  fzss2  10020  fzssuz  10021  fzp1elp1  10031  uzsplit  10048  elfzmlbm  10087  fzosplit  10133  seq3feq2  10426  seq3feq  10428  ser3mono  10434  seq3caopr3  10437  iseqf1olemkle  10440  iseqf1olemklt  10441  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemqk  10450  iseqf1olemjpcl  10451  iseqf1olemqpcl  10452  iseqf1olemfvp  10453  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1olemstep  10457  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  seq3z  10467  ser0  10470  ser3le  10474  seq3coll  10777  climub  11307  sumrbdclem  11340  fsum3cvg  11341  fsum3ser  11360  fsump1i  11396  fsum0diaglem  11403  iserabs  11438  isumsplit  11454  isum1p  11455  geosergap  11469  mertenslemi1  11498  prodf1  11505  prodfap0  11508  prodfrecap  11509  prodfdivap  11510  prodrbdclem  11534  fproddccvg  11535  fprodntrivap  11547  fprodabs  11579  fprodeq0  11580  infssuzex  11904  prmind2  12074  prmdvdsfz  12093  isprm5lem  12095  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  pcfac  12302  lgsdilem2  13731  cvgcmp2nlemabs  14064