Theorem elfzuz 10374

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10372	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  elfzel1  10377  elfzelz  10378  elfzle1  10381  eluzfz2b  10387  fzsplit2  10404  fzsplit  10405  fzsplit3  10407  fzopth  10416  fzss1  10418  fzss2  10419  fzssuz  10420  fzp1elp1  10431  uzsplit  10448  elfzmlbm  10487  fzosplit  10535  infssuzex  10615  infssfzcldc  10618  infssfzledc  10619  seq3feq2  10862  seq3feq  10866  ser3mono  10873  seq3caopr3  10877  iseqf1olemkle  10883  iseqf1olemklt  10884  iseqf1olemnab  10887  iseqf1olemqk  10893  iseqf1olemjpcl  10894  iseqf1olemqpcl  10895  iseqf1olemfvp  10896  seq3f1olemqsumkj  10897  seq3f1olemqsumk  10898  seq3f1olemqsum  10899  seq3f1olemstep  10900  seq3f1oleml  10902  seq3f1o  10903  seqf1oglem2  10906  seq3z  10914  ser0  10919  ser3le  10923  seq3coll  11239  swrdval2  11368  swrdswrd  11422  pfxccatin12  11450  pfxccatpfx2  11454  climub  12054  sumrbdclem  12088  fsum3cvg  12089  fsum3ser  12108  fsump1i  12144  fsum0diaglem  12151  iserabs  12186  isumsplit  12202  isum1p  12203  geosergap  12217  mertenslemi1  12246  prodf1  12253  prodfap0  12256  prodfrecap  12257  prodfdivap  12258  prodrbdclem  12282  fproddccvg  12283  fprodntrivap  12295  fprodabs  12327  fprodeq0  12328  nninfctlemfo  12761  prmind2  12842  prmdvdsfz  12861  isprm5lem  12863  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  pcfac  13073  ballotfilemfrci  13215  mersenne  15991  lgsdilem2  16035  cvgcmp2nlemabs  16942