Theorem elfzuz 10115

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10113	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℤ_≥cuz 9620  ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  elfzel1  10118  elfzelz  10119  elfzle1  10121  eluzfz2b  10127  fzsplit2  10144  fzsplit  10145  fzopth  10155  fzss1  10157  fzss2  10158  fzssuz  10159  fzp1elp1  10169  uzsplit  10186  elfzmlbm  10225  fzosplit  10272  infssuzex  10342  seq3feq2  10587  seq3feq  10591  ser3mono  10598  seq3caopr3  10602  iseqf1olemkle  10608  iseqf1olemklt  10609  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemqk  10618  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  iseqf1olemfvp  10621  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1olemstep  10625  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  seqf1oglem2  10631  seq3z  10639  ser0  10644  ser3le  10648  seq3coll  10953  climub  11528  sumrbdclem  11561  fsum3cvg  11562  fsum3ser  11581  fsump1i  11617  fsum0diaglem  11624  iserabs  11659  isumsplit  11675  isum1p  11676  geosergap  11690  mertenslemi1  11719  prodf1  11726  prodfap0  11729  prodfrecap  11730  prodfdivap  11731  prodrbdclem  11755  fproddccvg  11756  fprodntrivap  11768  fprodabs  11800  fprodeq0  11801  nninfctlemfo  12234  prmind2  12315  prmdvdsfz  12334  isprm5lem  12336  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  pcfac  12546  mersenne  15341  lgsdilem2  15385  cvgcmp2nlemabs  15789