Theorem elfzuz 10217

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10215	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℤ_≥cuz 9722  ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  elfzel1  10220  elfzelz  10221  elfzle1  10223  eluzfz2b  10229  fzsplit2  10246  fzsplit  10247  fzopth  10257  fzss1  10259  fzss2  10260  fzssuz  10261  fzp1elp1  10271  uzsplit  10288  elfzmlbm  10327  fzosplit  10375  infssuzex  10453  seq3feq2  10698  seq3feq  10702  ser3mono  10709  seq3caopr3  10713  iseqf1olemkle  10719  iseqf1olemklt  10720  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemqk  10729  iseqf1olemjpcl  10730  iseqf1olemqpcl  10731  iseqf1olemfvp  10732  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  seq3f1olemstep  10736  seq3f1oleml  10738  seq3f1o  10739  seqf1oglem2  10742  seq3z  10750  ser0  10755  ser3le  10759  seq3coll  11064  swrdval2  11183  swrdswrd  11237  pfxccatin12  11265  pfxccatpfx2  11269  climub  11855  sumrbdclem  11888  fsum3cvg  11889  fsum3ser  11908  fsump1i  11944  fsum0diaglem  11951  iserabs  11986  isumsplit  12002  isum1p  12003  geosergap  12017  mertenslemi1  12046  prodf1  12053  prodfap0  12056  prodfrecap  12057  prodfdivap  12058  prodrbdclem  12082  fproddccvg  12083  fprodntrivap  12095  fprodabs  12127  fprodeq0  12128  nninfctlemfo  12561  prmind2  12642  prmdvdsfz  12661  isprm5lem  12663  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  pcfac  12873  mersenne  15671  lgsdilem2  15715  cvgcmp2nlemabs  16400