Theorem elfzuz 10096

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10094	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  elfzel1  10099  elfzelz  10100  elfzle1  10102  eluzfz2b  10108  fzsplit2  10125  fzsplit  10126  fzopth  10136  fzss1  10138  fzss2  10139  fzssuz  10140  fzp1elp1  10150  uzsplit  10167  elfzmlbm  10206  fzosplit  10253  infssuzex  10323  seq3feq2  10568  seq3feq  10572  ser3mono  10579  seq3caopr3  10583  iseqf1olemkle  10589  iseqf1olemklt  10590  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemqk  10599  iseqf1olemjpcl  10600  iseqf1olemqpcl  10601  iseqf1olemfvp  10602  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1olemstep  10606  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  seqf1oglem2  10612  seq3z  10620  ser0  10625  ser3le  10629  seq3coll  10934  climub  11509  sumrbdclem  11542  fsum3cvg  11543  fsum3ser  11562  fsump1i  11598  fsum0diaglem  11605  iserabs  11640  isumsplit  11656  isum1p  11657  geosergap  11671  mertenslemi1  11700  prodf1  11707  prodfap0  11710  prodfrecap  11711  prodfdivap  11712  prodrbdclem  11736  fproddccvg  11737  fprodntrivap  11749  fprodabs  11781  fprodeq0  11782  nninfctlemfo  12207  prmind2  12288  prmdvdsfz  12307  isprm5lem  12309  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  pcfac  12519  mersenne  15233  lgsdilem2  15277  cvgcmp2nlemabs  15676