Theorem elfzuz 10441

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10439	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfzel1  10444  elfzelz  10445  elfzle1  10448  eluzfz2b  10454  fzsplit2  10472  fzsplit  10473  fzsplit3  10475  fzopth  10484  fzss1  10486  fzss2  10487  fzssuz  10488  fzp1elp1  10499  uzsplit  10516  elfzmlbm  10555  fzosplit  10603  infssuzex  10683  infssfzcldc  10686  infssfzledc  10687  seq3feq2  10934  seq3feq  10938  ser3mono  10945  seq3caopr3  10949  iseqf1olemkle  10955  iseqf1olemklt  10956  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemqk  10965  iseqf1olemjpcl  10966  iseqf1olemqpcl  10967  iseqf1olemfvp  10968  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1olemqsum  10971  seq3f1olemstep  10972  seq3f1oleml  10974  seq3f1o  10975  seqf1oglem2  10978  seq3z  10986  ser0  10991  ser3le  10995  seq3coll  11316  swrdval2  11445  swrdswrd  11499  pfxccatin12  11527  pfxccatpfx2  11531  climub  12135  sumrbdclem  12169  fsum3cvg  12170  fsum3ser  12189  fsump1i  12225  fsum0diaglem  12232  iserabs  12267  isumsplit  12283  isum1p  12284  geosergap  12298  mertenslemi1  12327  prodf1  12334  prodfap0  12337  prodfrecap  12338  prodfdivap  12339  prodrbdclem  12363  fproddccvg  12364  fprodntrivap  12376  fprodabs  12408  fprodeq0  12409  nninfctlemfo  12842  prmind2  12923  prmdvdsfz  12943  isprm5lem  12945  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  pcfac  13158  ballotfilemfrci  13329  birthdaylem2  16226  chtqub  16296  mersenne  16297  bposlem6  16316  lgsdilem2  16360  cvgcmp2nlemabs  17287