Theorem elfzuz 10014

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10012	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870  ℤ_≥cuz 9522  ...cfz 10002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-neg 8125  df-z 9248  df-uz 9523  df-fz 10003

This theorem is referenced by:  elfzel1  10017  elfzelz  10018  elfzle1  10020  eluzfz2b  10026  fzsplit2  10043  fzsplit  10044  fzopth  10054  fzss1  10056  fzss2  10057  fzssuz  10058  fzp1elp1  10068  uzsplit  10085  elfzmlbm  10124  fzosplit  10170  seq3feq2  10463  seq3feq  10465  ser3mono  10471  seq3caopr3  10474  iseqf1olemkle  10477  iseqf1olemklt  10478  iseqf1olemnab  10481  iseqf1olemqk  10487  iseqf1olemjpcl  10488  iseqf1olemqpcl  10489  iseqf1olemfvp  10490  seq3f1olemqsumkj  10491  seq3f1olemqsumk  10492  seq3f1olemqsum  10493  seq3f1olemstep  10494  seq3f1oleml  10496  seq3f1o  10497  seq3z  10504  ser0  10507  ser3le  10511  seq3coll  10813  climub  11343  sumrbdclem  11376  fsum3cvg  11377  fsum3ser  11396  fsump1i  11432  fsum0diaglem  11439  iserabs  11474  isumsplit  11490  isum1p  11491  geosergap  11505  mertenslemi1  11534  prodf1  11541  prodfap0  11544  prodfrecap  11545  prodfdivap  11546  prodrbdclem  11570  fproddccvg  11571  fprodntrivap  11583  fprodabs  11615  fprodeq0  11616  infssuzex  11940  prmind2  12110  prmdvdsfz  12129  isprm5lem  12131  eulerthlemrprm  12219  eulerthlema  12220  pcfac  12338  lgsdilem2  14219  cvgcmp2nlemabs  14551