Theorem elfzuz 10229

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10227	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  elfzel1  10232  elfzelz  10233  elfzle1  10235  eluzfz2b  10241  fzsplit2  10258  fzsplit  10259  fzopth  10269  fzss1  10271  fzss2  10272  fzssuz  10273  fzp1elp1  10283  uzsplit  10300  elfzmlbm  10339  fzosplit  10387  infssuzex  10465  seq3feq2  10710  seq3feq  10714  ser3mono  10721  seq3caopr3  10725  iseqf1olemkle  10731  iseqf1olemklt  10732  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemqk  10741  iseqf1olemjpcl  10742  iseqf1olemqpcl  10743  iseqf1olemfvp  10744  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1olemstep  10748  seq3f1oleml  10750  seq3f1o  10751  seqf1oglem2  10754  seq3z  10762  ser0  10767  ser3le  10771  seq3coll  11077  swrdval2  11199  swrdswrd  11253  pfxccatin12  11281  pfxccatpfx2  11285  climub  11871  sumrbdclem  11904  fsum3cvg  11905  fsum3ser  11924  fsump1i  11960  fsum0diaglem  11967  iserabs  12002  isumsplit  12018  isum1p  12019  geosergap  12033  mertenslemi1  12062  prodf1  12069  prodfap0  12072  prodfrecap  12073  prodfdivap  12074  prodrbdclem  12098  fproddccvg  12099  fprodntrivap  12111  fprodabs  12143  fprodeq0  12144  nninfctlemfo  12577  prmind2  12658  prmdvdsfz  12677  isprm5lem  12679  eulerthlemrprm  12767  eulerthlema  12768  pcfac  12889  mersenne  15687  lgsdilem2  15731  cvgcmp2nlemabs  16488