Theorem elfzuz 10434

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10432	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤ_≥cuz 9930  ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfzel1  10437  elfzelz  10438  elfzle1  10441  eluzfz2b  10447  fzsplit2  10465  fzsplit  10466  fzsplit3  10468  fzopth  10477  fzss1  10479  fzss2  10480  fzssuz  10481  fzp1elp1  10492  uzsplit  10509  elfzmlbm  10548  fzosplit  10596  infssuzex  10676  infssfzcldc  10679  infssfzledc  10680  seq3feq2  10926  seq3feq  10930  ser3mono  10937  seq3caopr3  10941  iseqf1olemkle  10947  iseqf1olemklt  10948  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemqk  10957  iseqf1olemjpcl  10958  iseqf1olemqpcl  10959  iseqf1olemfvp  10960  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1olemstep  10964  seq3f1oleml  10966  seq3f1o  10967  seqf1oglem2  10970  seq3z  10978  ser0  10983  ser3le  10987  seq3coll  11308  swrdval2  11437  swrdswrd  11491  pfxccatin12  11519  pfxccatpfx2  11523  climub  12126  sumrbdclem  12160  fsum3cvg  12161  fsum3ser  12180  fsump1i  12216  fsum0diaglem  12223  iserabs  12258  isumsplit  12274  isum1p  12275  geosergap  12289  mertenslemi1  12318  prodf1  12325  prodfap0  12328  prodfrecap  12329  prodfdivap  12330  prodrbdclem  12354  fproddccvg  12355  fprodntrivap  12367  fprodabs  12399  fprodeq0  12400  nninfctlemfo  12833  prmind2  12914  prmdvdsfz  12934  isprm5lem  12936  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  pcfac  13149  ballotfilemfrci  13320  birthdaylem2  16145  mersenne  16195  lgsdilem2  16253  cvgcmp2nlemabs  17179