Theorem elfzuz 10355

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10353	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  elfzel1  10358  elfzelz  10359  elfzle1  10361  eluzfz2b  10367  fzsplit2  10384  fzsplit  10385  fzopth  10395  fzss1  10397  fzss2  10398  fzssuz  10399  fzp1elp1  10409  uzsplit  10426  elfzmlbm  10465  fzosplit  10513  infssuzex  10593  seq3feq2  10838  seq3feq  10842  ser3mono  10849  seq3caopr3  10853  iseqf1olemkle  10859  iseqf1olemklt  10860  iseqf1olemnab  10863  iseqf1olemqk  10869  iseqf1olemjpcl  10870  iseqf1olemqpcl  10871  iseqf1olemfvp  10872  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemqsum  10875  seq3f1olemstep  10876  seq3f1oleml  10878  seq3f1o  10879  seqf1oglem2  10882  seq3z  10890  ser0  10895  ser3le  10899  seq3coll  11214  swrdval2  11343  swrdswrd  11397  pfxccatin12  11425  pfxccatpfx2  11429  climub  12029  sumrbdclem  12063  fsum3cvg  12064  fsum3ser  12083  fsump1i  12119  fsum0diaglem  12126  iserabs  12161  isumsplit  12177  isum1p  12178  geosergap  12192  mertenslemi1  12221  prodf1  12228  prodfap0  12231  prodfrecap  12232  prodfdivap  12233  prodrbdclem  12257  fproddccvg  12258  fprodntrivap  12270  fprodabs  12302  fprodeq0  12303  nninfctlemfo  12736  prmind2  12817  prmdvdsfz  12836  isprm5lem  12838  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  pcfac  13048  mersenne  15865  lgsdilem2  15909  cvgcmp2nlemabs  16816