Theorem elfzuz 10255

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10253	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  elfzel1  10258  elfzelz  10259  elfzle1  10261  eluzfz2b  10267  fzsplit2  10284  fzsplit  10285  fzopth  10295  fzss1  10297  fzss2  10298  fzssuz  10299  fzp1elp1  10309  uzsplit  10326  elfzmlbm  10365  fzosplit  10413  infssuzex  10492  seq3feq2  10737  seq3feq  10741  ser3mono  10748  seq3caopr3  10752  iseqf1olemkle  10758  iseqf1olemklt  10759  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemqk  10768  iseqf1olemjpcl  10769  iseqf1olemqpcl  10770  iseqf1olemfvp  10771  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemqsum  10774  seq3f1olemstep  10775  seq3f1oleml  10777  seq3f1o  10778  seqf1oglem2  10781  seq3z  10789  ser0  10794  ser3le  10798  seq3coll  11105  swrdval2  11231  swrdswrd  11285  pfxccatin12  11313  pfxccatpfx2  11317  climub  11904  sumrbdclem  11937  fsum3cvg  11938  fsum3ser  11957  fsump1i  11993  fsum0diaglem  12000  iserabs  12035  isumsplit  12051  isum1p  12052  geosergap  12066  mertenslemi1  12095  prodf1  12102  prodfap0  12105  prodfrecap  12106  prodfdivap  12107  prodrbdclem  12131  fproddccvg  12132  fprodntrivap  12144  fprodabs  12176  fprodeq0  12177  nninfctlemfo  12610  prmind2  12691  prmdvdsfz  12710  isprm5lem  12712  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  pcfac  12922  mersenne  15720  lgsdilem2  15764  cvgcmp2nlemabs  16636