Theorem elfzuz 10256

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10254	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfzel1  10259  elfzelz  10260  elfzle1  10262  eluzfz2b  10268  fzsplit2  10285  fzsplit  10286  fzopth  10296  fzss1  10298  fzss2  10299  fzssuz  10300  fzp1elp1  10310  uzsplit  10327  elfzmlbm  10366  fzosplit  10414  infssuzex  10494  seq3feq2  10739  seq3feq  10743  ser3mono  10750  seq3caopr3  10754  iseqf1olemkle  10760  iseqf1olemklt  10761  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemqk  10770  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  iseqf1olemfvp  10773  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemstep  10777  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  seqf1oglem2  10783  seq3z  10791  ser0  10796  ser3le  10800  seq3coll  11107  swrdval2  11236  swrdswrd  11290  pfxccatin12  11318  pfxccatpfx2  11322  climub  11922  sumrbdclem  11956  fsum3cvg  11957  fsum3ser  11976  fsump1i  12012  fsum0diaglem  12019  iserabs  12054  isumsplit  12070  isum1p  12071  geosergap  12085  mertenslemi1  12114  prodf1  12121  prodfap0  12124  prodfrecap  12125  prodfdivap  12126  prodrbdclem  12150  fproddccvg  12151  fprodntrivap  12163  fprodabs  12195  fprodeq0  12196  nninfctlemfo  12629  prmind2  12710  prmdvdsfz  12729  isprm5lem  12731  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  pcfac  12941  mersenne  15740  lgsdilem2  15784  cvgcmp2nlemabs  16687