Theorem elfzuz 10178

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10176	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℤ_≥cuz 9683  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  elfzel1  10181  elfzelz  10182  elfzle1  10184  eluzfz2b  10190  fzsplit2  10207  fzsplit  10208  fzopth  10218  fzss1  10220  fzss2  10221  fzssuz  10222  fzp1elp1  10232  uzsplit  10249  elfzmlbm  10288  fzosplit  10336  infssuzex  10413  seq3feq2  10658  seq3feq  10662  ser3mono  10669  seq3caopr3  10673  iseqf1olemkle  10679  iseqf1olemklt  10680  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemqk  10689  iseqf1olemjpcl  10690  iseqf1olemqpcl  10691  iseqf1olemfvp  10692  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1olemqsum  10695  seq3f1olemstep  10696  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  seqf1oglem2  10702  seq3z  10710  ser0  10715  ser3le  10719  seq3coll  11024  swrdval2  11142  swrdswrd  11196  pfxccatin12  11224  pfxccatpfx2  11228  climub  11770  sumrbdclem  11803  fsum3cvg  11804  fsum3ser  11823  fsump1i  11859  fsum0diaglem  11866  iserabs  11901  isumsplit  11917  isum1p  11918  geosergap  11932  mertenslemi1  11961  prodf1  11968  prodfap0  11971  prodfrecap  11972  prodfdivap  11973  prodrbdclem  11997  fproddccvg  11998  fprodntrivap  12010  fprodabs  12042  fprodeq0  12043  nninfctlemfo  12476  prmind2  12557  prmdvdsfz  12576  isprm5lem  12578  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  pcfac  12788  mersenne  15584  lgsdilem2  15628  cvgcmp2nlemabs  16173