Theorem elfzuz 10143

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10141	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℤ_≥cuz 9648  ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  elfzel1  10146  elfzelz  10147  elfzle1  10149  eluzfz2b  10155  fzsplit2  10172  fzsplit  10173  fzopth  10183  fzss1  10185  fzss2  10186  fzssuz  10187  fzp1elp1  10197  uzsplit  10214  elfzmlbm  10253  fzosplit  10301  infssuzex  10376  seq3feq2  10621  seq3feq  10625  ser3mono  10632  seq3caopr3  10636  iseqf1olemkle  10642  iseqf1olemklt  10643  iseqf1olemnab  10646  iseqf1olemqk  10652  iseqf1olemjpcl  10653  iseqf1olemqpcl  10654  iseqf1olemfvp  10655  seq3f1olemqsumkj  10656  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1olemqsum  10658  seq3f1olemstep  10659  seq3f1oleml  10661  seq3f1o  10662  seqf1oglem2  10665  seq3z  10673  ser0  10678  ser3le  10682  seq3coll  10987  swrdval2  11104  climub  11655  sumrbdclem  11688  fsum3cvg  11689  fsum3ser  11708  fsump1i  11744  fsum0diaglem  11751  iserabs  11786  isumsplit  11802  isum1p  11803  geosergap  11817  mertenslemi1  11846  prodf1  11853  prodfap0  11856  prodfrecap  11857  prodfdivap  11858  prodrbdclem  11882  fproddccvg  11883  fprodntrivap  11895  fprodabs  11927  fprodeq0  11928  nninfctlemfo  12361  prmind2  12442  prmdvdsfz  12461  isprm5lem  12463  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  pcfac  12673  mersenne  15469  lgsdilem2  15513  cvgcmp2nlemabs  15971