ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzuz GIF version

Theorem elfzuz 10007
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 10005 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
21simplbi 274 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  cuz 9517  ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-neg 8121  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996
This theorem is referenced by:  elfzel1  10010  elfzelz  10011  elfzle1  10013  eluzfz2b  10019  fzsplit2  10036  fzsplit  10037  fzopth  10047  fzss1  10049  fzss2  10050  fzssuz  10051  fzp1elp1  10061  uzsplit  10078  elfzmlbm  10117  fzosplit  10163  seq3feq2  10456  seq3feq  10458  ser3mono  10464  seq3caopr3  10467  iseqf1olemkle  10470  iseqf1olemklt  10471  iseqf1olemnab  10474  iseqf1olemqk  10480  iseqf1olemjpcl  10481  iseqf1olemqpcl  10482  iseqf1olemfvp  10483  seq3f1olemqsumkj  10484  seq3f1olemqsumk  10485  seq3f1olemqsum  10486  seq3f1olemstep  10487  seq3f1oleml  10489  seq3f1o  10490  seq3z  10497  ser0  10500  ser3le  10504  seq3coll  10806  climub  11336  sumrbdclem  11369  fsum3cvg  11370  fsum3ser  11389  fsump1i  11425  fsum0diaglem  11432  iserabs  11467  isumsplit  11483  isum1p  11484  geosergap  11498  mertenslemi1  11527  prodf1  11534  prodfap0  11537  prodfrecap  11538  prodfdivap  11539  prodrbdclem  11563  fproddccvg  11564  fprodntrivap  11576  fprodabs  11608  fprodeq0  11609  infssuzex  11933  prmind2  12103  prmdvdsfz  12122  isprm5lem  12124  eulerthlemrprm  12212  eulerthlema  12213  pcfac  12331  lgsdilem2  14104  cvgcmp2nlemabs  14436
  Copyright terms: Public domain W3C validator