Theorem elfzuz 10063

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10061	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5242  (class class class)co 5904  ℤ_≥cuz 9569  ...cfz 10050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-neg 8172  df-z 9295  df-uz 9570  df-fz 10051

This theorem is referenced by:  elfzel1  10066  elfzelz  10067  elfzle1  10069  eluzfz2b  10075  fzsplit2  10092  fzsplit  10093  fzopth  10103  fzss1  10105  fzss2  10106  fzssuz  10107  fzp1elp1  10117  uzsplit  10134  elfzmlbm  10173  fzosplit  10219  seq3feq2  10515  seq3feq  10517  ser3mono  10523  seq3caopr3  10526  iseqf1olemkle  10529  iseqf1olemklt  10530  iseqf1olemnab  10533  iseqf1olemqk  10539  iseqf1olemjpcl  10540  iseqf1olemqpcl  10541  iseqf1olemfvp  10542  seq3f1olemqsumkj  10543  seq3f1olemqsumk  10544  seq3f1olemqsum  10545  seq3f1olemstep  10546  seq3f1oleml  10548  seq3f1o  10549  seq3z  10556  ser0  10560  ser3le  10564  seq3coll  10869  climub  11399  sumrbdclem  11432  fsum3cvg  11433  fsum3ser  11452  fsump1i  11488  fsum0diaglem  11495  iserabs  11530  isumsplit  11546  isum1p  11547  geosergap  11561  mertenslemi1  11590  prodf1  11597  prodfap0  11600  prodfrecap  11601  prodfdivap  11602  prodrbdclem  11626  fproddccvg  11627  fprodntrivap  11639  fprodabs  11671  fprodeq0  11672  infssuzex  11997  nninfctlemfo  12088  prmind2  12169  prmdvdsfz  12188  isprm5lem  12190  eulerthlemrprm  12278  eulerthlema  12279  pcfac  12399  lgsdilem2  14976  cvgcmp2nlemabs  15321