Theorem elfzuz 10403

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10401	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  elfzel1  10406  elfzelz  10407  elfzle1  10410  eluzfz2b  10416  fzsplit2  10433  fzsplit  10434  fzsplit3  10436  fzopth  10445  fzss1  10447  fzss2  10448  fzssuz  10449  fzp1elp1  10460  uzsplit  10477  elfzmlbm  10516  fzosplit  10564  infssuzex  10644  infssfzcldc  10647  infssfzledc  10648  seq3feq2  10891  seq3feq  10895  ser3mono  10902  seq3caopr3  10906  iseqf1olemkle  10912  iseqf1olemklt  10913  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemqk  10922  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  iseqf1olemfvp  10925  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1olemstep  10929  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seqf1oglem2  10935  seq3z  10943  ser0  10948  ser3le  10952  seq3coll  11272  swrdval2  11401  swrdswrd  11455  pfxccatin12  11483  pfxccatpfx2  11487  climub  12088  sumrbdclem  12122  fsum3cvg  12123  fsum3ser  12142  fsump1i  12178  fsum0diaglem  12185  iserabs  12220  isumsplit  12236  isum1p  12237  geosergap  12251  mertenslemi1  12280  prodf1  12287  prodfap0  12290  prodfrecap  12291  prodfdivap  12292  prodrbdclem  12316  fproddccvg  12317  fprodntrivap  12329  fprodabs  12361  fprodeq0  12362  nninfctlemfo  12795  prmind2  12876  prmdvdsfz  12895  isprm5lem  12897  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  pcfac  13107  ballotfilemfrci  13249  mersenne  16025  lgsdilem2  16069  cvgcmp2nlemabs  16986