Theorem elfzuz 9436

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 268	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  ℤ_≥cuz 9019  ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-neg 7656  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by:  elfzel1  9439  elfzelz  9440  elfzle1  9441  eluzfz2b  9447  fzsplit2  9464  fzsplit  9465  fzopth  9475  fzss1  9477  fzss2  9478  fzssuz  9479  fzp1elp1  9489  uzsplit  9506  elfzmlbm  9542  fzosplit  9588  iseqfeq2  9891  seq3feq2  9893  iseqfeq  9896  isermono  9906  iseqsplit  9908  iseqcaopr3  9910  iseqf1olemkle  9913  iseqf1olemklt  9914  iseqf1olemnab  9917  iseqf1olemqk  9923  iseqf1olemjpcl  9924  iseqf1olemqpcl  9925  iseqf1olemfvp  9926  seq3f1olemqsumkj  9927  seq3f1olemqsumk  9928  seq3f1olemqsum  9929  seq3f1olemstep  9930  seq3f1oleml  9932  seq3f1o  9933  iseqz  9943  iser0  9947  ser0  9949  ser3le  9953  iseqcoll  10247  climub  10733  isumrblem  10765  fisumcvg  10766  fsum3cvg  10767  fisumser  10790  fsump1i  10827  fsum0diaglem  10834  iserabs  10869  isumsplit  10885  isum1p  10886  geosergap  10900  mertenslemi1  10929  infssuzex  11223  prmind2  11380  prmdvdsfz  11398