Theorem elfzuz 10246

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10244	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  elfzel1  10249  elfzelz  10250  elfzle1  10252  eluzfz2b  10258  fzsplit2  10275  fzsplit  10276  fzopth  10286  fzss1  10288  fzss2  10289  fzssuz  10290  fzp1elp1  10300  uzsplit  10317  elfzmlbm  10356  fzosplit  10404  infssuzex  10483  seq3feq2  10728  seq3feq  10732  ser3mono  10739  seq3caopr3  10743  iseqf1olemkle  10749  iseqf1olemklt  10750  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemqk  10759  iseqf1olemjpcl  10760  iseqf1olemqpcl  10761  iseqf1olemfvp  10762  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1olemstep  10766  seq3f1oleml  10768  seq3f1o  10769  seqf1oglem2  10772  seq3z  10780  ser0  10785  ser3le  10789  seq3coll  11096  swrdval2  11222  swrdswrd  11276  pfxccatin12  11304  pfxccatpfx2  11308  climub  11895  sumrbdclem  11928  fsum3cvg  11929  fsum3ser  11948  fsump1i  11984  fsum0diaglem  11991  iserabs  12026  isumsplit  12042  isum1p  12043  geosergap  12057  mertenslemi1  12086  prodf1  12093  prodfap0  12096  prodfrecap  12097  prodfdivap  12098  prodrbdclem  12122  fproddccvg  12123  fprodntrivap  12135  fprodabs  12167  fprodeq0  12168  nninfctlemfo  12601  prmind2  12682  prmdvdsfz  12701  isprm5lem  12703  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  pcfac  12913  mersenne  15711  lgsdilem2  15755  cvgcmp2nlemabs  16572