Theorem elfzuz 9924

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 9922	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 272	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  ℤ_≥cuz 9439  ...cfz 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-neg 8049  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913

This theorem is referenced by:  elfzel1  9927  elfzelz  9928  elfzle1  9929  eluzfz2b  9935  fzsplit2  9952  fzsplit  9953  fzopth  9963  fzss1  9965  fzss2  9966  fzssuz  9967  fzp1elp1  9977  uzsplit  9994  elfzmlbm  10030  fzosplit  10076  seq3feq2  10369  seq3feq  10371  ser3mono  10377  seq3caopr3  10380  iseqf1olemkle  10383  iseqf1olemklt  10384  iseqf1olemnab  10387  iseqf1olemqk  10393  iseqf1olemjpcl  10394  iseqf1olemqpcl  10395  iseqf1olemfvp  10396  seq3f1olemqsumkj  10397  seq3f1olemqsumk  10398  seq3f1olemqsum  10399  seq3f1olemstep  10400  seq3f1oleml  10402  seq3f1o  10403  seq3z  10410  ser0  10413  ser3le  10417  seq3coll  10713  climub  11241  sumrbdclem  11274  fsum3cvg  11275  fsum3ser  11294  fsump1i  11330  fsum0diaglem  11337  iserabs  11372  isumsplit  11388  isum1p  11389  geosergap  11403  mertenslemi1  11432  prodf1  11439  prodfap0  11442  prodfrecap  11443  prodfdivap  11444  prodrbdclem  11468  fproddccvg  11469  fprodntrivap  11481  fprodabs  11513  fprodeq0  11514  infssuzex  11835  prmind2  11996  prmdvdsfz  12015  eulerthlemrprm  12103  eulerthlema  12104  cvgcmp2nlemabs  13603