Theorem climconst2 11218

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst2.1	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
climconst2.2	⊢ 𝑍 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
climconst2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem climconst2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2164	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climconst2.2	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		snexg 4157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
5	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝐴} ∈ V)
6		xpexg 4712	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝑍 × {𝐴}) ∈ V)
7	3, 5, 6	sylancr 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ∈ V)
8		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		climconst2.1	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
10	9	sseli 3133	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		fvconst2g 5693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
12	8, 10, 11	syl2an 287	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
13	1, 2, 7, 8, 12	climconst 11217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111  {csn 3570   class class class wbr 3976   × cxp 4596  ‘cfv 5182  ℂcc 7742  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457   ⇝ cli 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-rp 9581  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-clim 11206

This theorem is referenced by:  climz  11219  serclim0  11232  climaddc1  11256  climmulc2  11258  climsubc1  11259  climsubc2  11260  climlec2  11268  prodfclim1  11471