Theorem climmulc2 11342

Description: Limit of a sequence multiplied by a constant 𝐶. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddc1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climaddc1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulc2.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climmulc2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climaddc1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0z 9267	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		uzssz 9550	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
6		zex 9265	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	5, 6	climconst2 11302	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
8	3, 4, 7	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9		climaddc1.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climadd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		eluzelz 9540	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 1	eleq2s 2272	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
13		fvconst2g 5733	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
15	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	14, 15	eqeltrd 2254	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17		climaddc1.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climmulc2.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
19	14	oveq1d 5893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
20	18, 19	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
21	1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20	climmul 11338	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3594   class class class wbr 4005   × cxp 4626  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  0cc0 7814   · cmul 7819  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531   ⇝ cli 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290

This theorem is referenced by:  isermulc2  11351  climcvg1nlem  11360  geolim  11522  geo2lim  11527  clim2prod  11550  clim2divap  11551