ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqcl GIF version

Theorem iseqf1olemqcl 10199
Description: Lemma for seq3f1o 10217. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqcl (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem iseqf1olemqcl
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqcl.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
21ad2antrr 477 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5333 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
65ad2antrr 477 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
71ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzel1 9745 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 elfzel2 9744 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
117, 10syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 iseqf1olemqcl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
13 elfzelz 9746 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1514ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 peano2zm 9043 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
189, 11, 173jca 1144 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
199zred 9124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
20 elfzelz 9746 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
217, 20syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2221zred 9124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
2317zred 9124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
24 elfzle1 9747 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
257, 24syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀𝐾)
26 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
27 eqcom 2117 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐾𝐾 = 𝐴)
2826, 27sylnib 648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
29 elfzle1 9747 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝐾𝐴)
3029ad2antlr 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾𝐴)
31 zleloe 9052 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴)))
3221, 15, 31syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴)))
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴))
3428, 33ecased 1310 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
35 zltlem1 9062 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
3621, 15, 35syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
3734, 36mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
3819, 22, 23, 25, 37letrd 7850 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐴 − 1))
3915zred 9124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
4011zred 9124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
4139lem1d 8648 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
4212ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
43 elfzle2 9748 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴𝑁)
4442, 43syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴𝑁)
4523, 39, 40, 41, 44letrd 7850 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)
4638, 45jca 302 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁))
47 elfz2 9737 . . . . 5 ((𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)))
4818, 46, 47sylanbrc 411 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
496, 48ffvelrnd 5522 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
501, 20syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
51 zdceq 9077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
5214, 50, 51syl2anc 406 . . . 4 (𝜑DECID 𝐴 = 𝐾)
5352adantr 272 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
542, 49, 53ifcldadc 3469 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝑀...𝑁))
555, 12ffvelrnd 5522 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
5655adantr 272 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
57 f1ocnv 5346 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
58 f1of 5333 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
593, 57, 583syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6059, 1ffvelrnd 5522 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
61 elfzelz 9746 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
6260, 61syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
63 fzdcel 9760 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
6414, 50, 62, 63syl3anc 1199 . 2 (𝜑DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
6554, 56, 64ifcldadc 3469 1 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  ifcif 3442   class class class wbr 3897  ccnv 4506  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  1c1 7585   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  cz 9005  ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqval  10200  iseqf1olemqf  10204
  Copyright terms: Public domain W3C validator