ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqcl GIF version

Theorem iseqf1olemqcl 9880
Description: Lemma for seq3f1o 9898. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqcl.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqcl (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem iseqf1olemqcl
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemqcl.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
21ad2antrr 472 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3 iseqf1olemqcl.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5237 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
65ad2antrr 472 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
71ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzel1 9408 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 elfzel2 9407 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
117, 10syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 iseqf1olemqcl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
13 elfzelz 9409 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1514ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 peano2zm 8758 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
189, 11, 173jca 1123 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
199zred 8838 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
20 elfzelz 9409 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
217, 20syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2221zred 8838 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
2317zred 8838 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
24 elfzle1 9410 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
257, 24syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀𝐾)
26 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐴 = 𝐾)
27 eqcom 2090 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐾𝐾 = 𝐴)
2826, 27sylnib 636 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝐴)
29 elfzle1 9410 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝐾𝐴)
3029ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾𝐴)
31 zleloe 8767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴)))
3221, 15, 31syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾𝐴 ↔ (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴)))
3330, 32mpbid 145 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴𝐾 = 𝐴))
3428, 33ecased 1285 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 < 𝐴)
35 zltlem1 8777 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
3621, 15, 35syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐾 < 𝐴𝐾 ≤ (𝐴 − 1)))
3734, 36mpbid 145 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐴 − 1))
3819, 22, 23, 25, 37letrd 7586 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐴 − 1))
3915zred 8838 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ ℝ)
4011zred 8838 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
4139lem1d 8366 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
4212ad2antrr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
43 elfzle2 9411 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴𝑁)
4442, 43syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → 𝐴𝑁)
4523, 39, 40, 41, 44letrd 7586 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)
4638, 45jca 300 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁))
47 elfz2 9400 . . . . 5 ((𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝐴 − 1) ∧ (𝐴 − 1) ≤ 𝑁)))
4818, 46, 47sylanbrc 408 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐴 − 1) ∈ (𝑀...𝑁))
496, 48ffvelrnd 5419 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐾) → (𝐽‘(𝐴 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
501, 20syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
51 zdceq 8792 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 𝐾)
5214, 50, 51syl2anc 403 . . . 4 (𝜑DECID 𝐴 = 𝐾)
5352adantr 270 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → DECID 𝐴 = 𝐾)
542, 49, 53ifcldadc 3416 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))) ∈ (𝑀...𝑁))
555, 12ffvelrnd 5419 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
5655adantr 270 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))) → (𝐽𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
57 f1ocnv 5250 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
58 f1of 5237 . . . . . 6 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
593, 57, 583syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6059, 1ffvelrnd 5419 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
61 elfzelz 9409 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
6260, 61syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
63 fzdcel 9423 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
6414, 50, 62, 63syl3anc 1174 . 2 (𝜑DECID 𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
6554, 56, 64ifcldadc 3416 1 (𝜑 → if(𝐴 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝐴 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐴 − 1))), (𝐽𝐴)) ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  ifcif 3389   class class class wbr 3837  ccnv 4427  wf 4998  1-1-ontowf1o 5001  cfv 5002  (class class class)co 5634  1c1 7330   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632  cz 8720  ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  iseqf1olemqval  9881  iseqf1olemqf  9885
  Copyright terms: Public domain W3C validator