Theorem gausslemma2dlem2 15589

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 15596. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 5961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 5970	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		elfz1b 10225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀))
8		nnre 9056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10		nnre 9056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		2re 9119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2pos 9140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		lemul1 8679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 15580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
22	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23	8, 22	remulcld 8116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
25	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26	10, 25	remulcld 8116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
28	18	gausslemma2dlem0a 15576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
30	29	rehalfcld 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31		lelttr 8174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
33	21, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
35	34	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
36	17, 35	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37	36	3impia 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
38	7, 37	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
39	38	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
41	40	iftrued 3580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
42	6, 41	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 15579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 9506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 15577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
47	46	nnzd 9507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 15582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
49		eluz2 9667	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fzss2 10199	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
52	50, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
53	52	sselda 3195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54	53	elfzelzd 10161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
55		2z 9413	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
56	55	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
57	54, 56	zmulcld 9514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
58	1, 42, 53, 57	fvmptd2 5671	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
59	58	ralrimiva 2580	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ∖ cdif 3165   ⊆ wss 3168  ifcif 3573  {csn 3635   class class class wbr 4048   ↦ cmpt 4110  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943   < clt 8120   ≤ cle 8121   − cmin 8256   / cdiv 8758  ℕcn 9049  2c2 9100  4c4 9102  ℤcz 9385  ℤ_≥cuz 9661  ...cfz 10143  ⌊cfl 10424  ℙcprime 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fl 10426  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-dvds 12149  df-prm 12480

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15594