Theorem gausslemma2dlem2 15784

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 15791. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 6020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		elfz1b 10318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀))
8		nnre 9143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10		nnre 9143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		2re 9206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2pos 9227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		lemul1 8766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 ↔ (𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2)))
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 15775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))
22	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23	8, 22	remulcld 8203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
25	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
26	10, 25	remulcld 8203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 2) ∈ ℝ)
28	18	gausslemma2dlem0a 15771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28	nnred 9149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
30	29	rehalfcld 9384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
31		lelttr 8261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → (((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) ∧ (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
33	21, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝜑) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝜑 → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
35	34	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 2) ≤ (𝑀 · 2) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
36	17, 35	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ 𝑀 → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))))
37	36	3impia 1224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ 𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
38	7, 37	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
39	38	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
41	40	iftrued 3610	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑘 · 2))
42	6, 41	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑘 · 2))
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 15774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 9593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 15772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
47	46	nnzd 9594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 15777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
49		eluz2 9754	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
51		fzss2 10292	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
52	50, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (1...𝐻))
53	52	sselda 3225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
54	53	elfzelzd 10254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
55		2z 9500	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
56	55	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
57	54, 56	zmulcld 9601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
58	1, 42, 53, 57	fvmptd2 5724	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
59	58	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∖ cdif 3195   ⊆ wss 3198  ifcif 3603  {csn 3667   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  4c4 9189  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  ...cfz 10236  ⌊cfl 10521  ℙcprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fl 10523  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-prm 12673

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15789