ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pclemub GIF version

Theorem pclemub 12286
Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
Assertion
Ref Expression
pclemub ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑛,𝑦   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem pclemub
StepHypRef Expression
1 nnssz 9269 . 2 ℕ ⊆ ℤ
2 zcn 9257 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32abscld 11189 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
43ad2antrl 490 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
5 eluzelre 9537 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
7 eluz2gt1 9601 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
87adantr 276 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 < 𝑃)
9 expnbnd 10643 . . . 4 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
104, 6, 8, 9syl3anc 1238 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
11 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
12 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑦))
1312breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
14 pclem.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
1513, 14elrab2 2896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
1611, 15sylib 122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
1716simprd 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∥ 𝑁)
18 eluz2nn 9565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℕ)
2016simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 10675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
2221nnzd 9373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
23 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ≠ 0)
25 dvdsleabs 11850 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
2717, 26mpd 13 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁))
2821nnred 8931 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
294adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
305ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℝ)
31 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3231ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3330, 32reexpcld 10670 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
34 lelttr 8045 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
3528, 29, 33, 34syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
3627, 35mpand 429 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
377ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 1 < 𝑃)
38 nn0ltexp2 10688 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
3930, 20, 32, 37, 38syl31anc 1241 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
4036, 39sylibrd 169 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
4120nn0red 9229 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
42 nnre 8925 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
4342ad2antrl 490 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
44 ltle 8044 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
4541, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
4640, 45syld 45 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
4746anassrs 400 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
4847ralrimdva 2557 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
4948reximdva 2579 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
5010, 49mpd 13 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
51 ssrexv 3220 . 2 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
521, 50, 51mpsyl 65 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   < clt 7991  cle 7992  cn 8918  2c2 8969  0cn0 9175  cz 9252  cuz 9527  cexp 10518  abscabs 11005  cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  pcprecl  12288  pcprendvds  12289  pcpremul  12292
  Copyright terms: Public domain W3C validator